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1、2019届数学中考复习资料山东省理科数学一轮复习试题选编31：椭圆一、选择题 （山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若椭圆:()和椭圆:()的焦点相同且.给出如下四个结论: 椭圆和椭圆一定没有公共点; ; ; .其中,所有正确结论的序号是（）A BCD【答案】B （山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为（）A(0,B()C(0,)D(,1)【答案】D【解析】根据正弦定理得,所以由可得,即,所以,又,即,因为,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以,即,所以,即,所
2、以,解得,即,选D 二、填空题 （山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为,则=_.【答案】 【解析】因为焦点在轴上.所以,所以.椭圆的离心率为,所以,解得. （山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,椭圆的左、右焦点为,上顶点为A,离心率为,点P为第一象限内椭圆上的一点,若,则直线的斜率为_.【答案】 因为椭圆的离心率为,所以,即.设直线的斜率为,则直线的方程为,因为,即,即,所以,解得,(舍去)或,又,即,所以,解得,所以. 三、解答题 （山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知椭圆,椭圆C2以C1的短轴为
3、长轴,且与C1有相同的离心率.(I)求椭圆C2的方程;(II)设直线与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为,点在线段AB的垂直平分线上,且,求直线的方程.【答案】 （山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）若椭圆: 和椭圆: 满足,则称这两个椭圆相似,是相似比.()求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;()设过原点的一条射线分别与()中的两椭圆交于、点(点在线段上).若是线段上的一点,若,成等比数列,求点的轨迹方程; 求的最大值和最小值.【答案】解:()设与相似的椭圆的方程. 则有 解得. 所求方程是 () 当射线的斜率不存在时, 设点P坐标P(0,则,.即P(0,) 当
4、射线的斜率存在时,设其方程,P( 由,则 得 同理 又点P在上,则,且由, 即所求方程是. 又(0,)适合方程, 故所求椭圆的方程是 由可知,当的斜率不存在时,当的斜率存在时, , 综上,的最大值是8,最小值是4 （山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、 三点. (1)求椭圆的方程:(2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,当内切圆的面积最大时.求内切圆圆心的坐标;(3)若直线与椭圆交于、两点,证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程.【答案】【解析】:(1)设椭圆方程为 将、代入椭圆E的方程,得 解得.椭圆的方程 (2),
5、设边上的高为 当点在椭圆的短轴顶点时,最大为,所以的最大值为.设的内切圆的半径为,因为的周长为定值6.所以,所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为 (3)将直线代入椭圆的方程并整理.得 .设直线与椭圆的交点, 由根系数的关系,得 直线的方程为:,它与直线的交点坐标为 同理可求得直线与直线的交点坐标为 下面证明、两点重合,即证明、两点的纵坐标相等: , 因此结论成立.综上可知.直线与直线的交点住直线上 （山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、,与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足(1)求椭圆的标
6、准方程;(2)若,试证明:直线过定点并求此定点.【答案】解:(1)设椭圆方程为,焦距为2c, 由题意知 b=1,且,又 得 所以椭圆的方程为 (2) 由题意设,设l方程为, 由知 ,由题意, 同理由知 , (*) 联立得 需 (*) 且有 (*) (*)代入(*)得, 由题意,(满足(*), 得l方程为,过定点(1,0),即P为定点 （2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2 是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P
7、,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程.【答案】【解析】 (1)设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因为AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=. 结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,离心率e= . 在RtAB1B2中,OAB1B2,故SAB1B2=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2. 由题设条件SAB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20. 因此所求椭圆的标准方程为+=1. (2)由(1),知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线l的
8、倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=-. 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-. 由PB2QB1,得=0,即16m2-64=0,解得m=2. 满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0. （山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科）已知椭圆的离心率为,过右
9、焦点做垂直于轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为.()求椭圆的标准方程;()设点,直线:,过任作一条不与轴重合的直线与椭圆相交于两点,过的中点作直线与轴交于点,为在直线上的射影,若 、 成等比数列,求直线的斜率的取值范围【答案】解:()由题意可得 ,解得 椭圆的标准方程为 ()设的斜率为,的斜率为,直线的方程为, 联立直线与椭圆的方程 ,整理得 直线与椭圆有两个公共点, 或 由 得 设则 直线的方程,令,得, 、 成等比数列, 则有 ,或 所以, 即,或 由,可得 由,可得 的取值范围为 （山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知圆的方程为,
10、过点作圆的两条切线,切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.()求椭圆的方程;()设是椭圆(垂直于轴的一条弦,所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点,直线、分别交定直线于两点、,求证. RQOP【答案】 解:() 观察知,是圆的一条切线,切点为, 设为圆心,根据圆的切线性质, 所以, 所以直线的方程为 线与轴相交于,依题意, 所求椭圆的方程为 () 椭圆方程为,设 则有, 在直线的方程中,令,整理得 同理, ,并将代入得 =. 而= 且, （山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.()若,求外接圆的方程;
11、()若过点的直线与椭圆相交于两点、,设为上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.【答案】解:()由题意知:,又, 解得:椭圆的方程为: 可得:,设,则, ,即 由,或 即,或 当的坐标为时,外接圆是以为圆心,为半径的圆,即 当的坐标为时,所以为直角三角形,其外接圆是以线段为直径的圆,圆心坐标为,半径为, 外接圆的方程为 综上可知:外接圆方程是,或 ()由题意可知直线的斜率存在. 设, 由得: 由得:() ,即 ,结合()得: , 从而, 点在椭圆上,整理得: 即,或 （山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）椭圆的两个焦点为,M是椭圆上的一点,且满足.()求离心率的
12、取值范围;()当离心率e取得最小值时,椭圆上的点到焦点的最近距离为.求此时椭圆G的方程;设斜率为k(k0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.【答案】解:(1)设M(x,y),则 由 又M在椭圆上, , 又0x2a2, , (2)依题意得: 椭圆方程是: .设l:y=kx+m,由 而0可得m232k2+16 又A、B两点关于过点、Q的直线对称 ,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 又k0,或 需求的k的取值范围是或 （山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知椭圆C:的离心率为
13、,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与轴相交于定点Q;(3)在(2)的条件下,设过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点,求的取值范围.【答案】【解析】(1)由题意知,所以,即. 又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆,与直线相切,所以, 所以,故椭圆C的方程为. (2)由题意知直线PB的斜率存在且不为0,则直线PB的方程为. 由得. 设点,则.由题意知直线AE的斜率存在,则直线AE的方程为. 令,得,将,4)代入整理得 . 由式利用根与系数的关系得, 代入式整理得. 所以直线AE与轴相交于定点Q(1,0). (3)当过点Q的直线MN的斜率存在时, 设直线MN的方程为,. 由得, 易知, 由根与系数的关系知, 则, 则, 因为,所以,所以, 所以. 当过点Q的直线MN的斜率不存在时,其方程为,代入椭圆方程得,不妨设,此时
