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1、 泰勒公式与导数的应用名称 主要内容泰勒公式泰勒中值定理：如果在含有的某个开区间内具有阶的导数，则对任一，有，此公式称为阶泰勒公式；其中（介于于之间），称为拉格朗日型余项；或，称为皮亚诺型余项。阶麦克劳林公式：其中（）或。常用的初等函数的麦克劳林公式：1）2）3）4）5）6）巩固练习1.按的幂展开多项式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求按的幂展开的阶泰勒公式，则依次求直到阶的导数在处的值，然后带代入公式即可。解：，；，；，；将以上结果代入泰勒公式，得。2.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：同1。解：，；，；，；将以上结果代入泰勒公式，得，（介于与
2、4之间）。3.把在点展开到含项，并求。知识点：麦克劳林公式。思路：间接展开法。为有理分式时通常利用已知的结论。解：；又由泰勒公式知前的系数，从而。4.求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，为对数函数时，通常利用已知的结论。方法一：（直接展开），；，；，；，；将以上结果代入泰勒公式，得。方法二：。5.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，为有理分式时通常利用已知的结论。方法一：，；，；，；将以上结果代入泰勒公式，得 （介于与之间）。方法二： （介于与之
3、间）。6.求函数的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林展开式。知识点：麦克劳林公式。思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。中含有时，通常利用已知结论。方法一：，；，；，将以上结果代入麦克劳林公式，得 。方法二： 。7.验证当时，按公式计算的近似值时，所产生的误差小于，并求的近似值，使误差小于。知识点：泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。解：；。8.用泰勒公式取，求的近似值，并估计其误差。知识点：泰勒公式的应用。解：设，则，从而；其误差为：。9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：（1） ； （2） 。知识点：泰勒展开式的应用。思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开
4、到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解：（1）。（2）。10.设，证明：。知识点：泰勒公式。思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。解：（介于与之间）， ，从而，结论成立。（也可用3.4函数单调性的判定定理证明之）11.证明函数是次多项式的充要条件是。知识点：麦克劳林公式。思路：将按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。解：必要性。易知，若是次多项式，则有。充分性。，的阶麦克劳林公式为：，即是次多项式，结论成立。12.若在上有阶导数，且证明在内至少存在一点，使。知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中
5、值定理。思路：证明，可连续使用拉格朗日中值定理，验证在上满足罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据在处的泰勒展开式及已知条件得结论。方法一： 在上可导，且，由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得； 在上可导，且，由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得；依次类推可知，在 上可导，且，由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得。方法二：根据已知条件，在处的泰勒展开式为：，从而得，结论成立。内容概要名称 主要内容函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判别法：设在上连续，在内可导，则（1）若在内，则在上单调增加；（2）若在内，则在上单调减少。1） 曲线凹凸性的概念：设在区间内连续，如果对上任意两点
6、，恒有，则称在上的图形是凹的；如果恒有，则称在上的图形是凸的。2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性的判别法：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的。巩固练习1.证明函数单调增加。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间上，（），则在单调增加（减少）。证明：（仅在处），在内是单调增加的。2.判定函数的单调性。解：（仅在处），是单调增加的。3.求下列函数的单调区间：（1） ； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导
7、数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1） 的定义域为；令，得，。列表讨论如下：由上表可知，在、内严格单增，而在内严格单减。（2） 在内，令，得；当 时，有；当 时，有；在内严格单增，在内严格单减。（3）的定义域为；令，得；为不可导点。列表讨论如下：由上表可知，在、内严格单增，而在内严格单减。（4）的定义域为，在内严格单增。（5）的定义域为，在上严格单增。（6）的定义域为，令，得；当时，；当时，；在内严格单增，在内严格单减。4.证明下列
8、不等式：（1） 当时，； （2）当时，；（3）当时，； （4）时，。知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。解：（1）方法一：令，则当时，在上严格单增；从而，即，结论成立。方法二：由泰勒公式，得（），从而得，结论成立。（2）方法一：令，则当时，在内严格单增，从而，在内严格单增，在内，结论成立。注：利用的符号判断的单调性，利用的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。方法二：令，当时，在内严格单增， ，从而有，即，结论成立。（3）令，则当时有（仅在时，），在上
9、严格单增，从而有，即，结论成立。（4）令，则当时，有从而在内严格单增，即在内；再令，则当时，从而在内严格单增，即在内，结论成立。5.试证方程只有一个实根。知识点：导数的应用。思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。解：易知，即是方程的一个根；令，则（仅在处），在内严格单增，从而只有一个零点，即方程只有一个实根。6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。解：单调函数的导函数不一定为单调函数。（仅在处），在内严格单增；而在内严格单减，在内严格单增，从而在上不单调。7.求下列函数图形的拐点及凹凸区
10、间：（1）； （2） ； （3） ；（4）； （5） ； （6） 。知识点：导数的应用。思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1），当时，在上为凹函数，没有拐点。（2）的定义域为；，令，得；当或时，；当或时，；的凹区间为、，凸区间为、；拐点为。（3） 的定义域为，在整个定义域上为凹函数，没有拐点。（4）的定义域为，在整个定义域上为凹函数，没有拐点。（5） 的定义域为，令，得；列表讨论如下：由上表可知，的凸区间为、，
11、凹区间为，拐点为及。（6）的定义域为，令，得；当时，；当时，；的凹区间为，凸区间为，拐点为。8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：（1）； （2）。知识点：函数凹凸性的概念。思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线性组合时可考虑利用函数的凹凸性。证明：（1）令，在内是凹的。利用凹函数的定义，有，结论成立。（2）令，在内，在内是凸的。利用凸函数的定义，有，结论成立。9.求曲线的拐点。知识点：导数的应用。思路：同7。解：的定义域为，令，得，；现列表讨论如下：由上表可知，拐点为、。10.问及为何值时，点为曲线的拐点？知识点：导数的应用。思路：拐点通
12、常是二阶导数的零点或者是不可导点。又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。解：的定义域为，；将代入中，得：；将代入中，得：；由得，。11.试确定曲线中的、，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上。知识点：导数的几何意义及导数的应用。思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。解：，； 将代入，得 将分别代入与中，得 ； 将代入中，得 由得，。12.试确定中的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。知识点：导数的应用。思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求出拐点坐标，写出法线方程，根据已知条件，求出
13、值。解：的定义域为；，；令，得。易知，当的取值通过的两侧时，会变号，与均为的拐点；，两拐点处法线方程分别为：，；又两法线过原点，将代入法线方程，得，解得。13.设函数在的某邻域内具有三阶导数，如果，而，试问是否为拐点，为什么？知识点：导数的应用。思路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论。方法一：，不妨设，即；由极限的保号性知，必存在，使得，均有；从而当时，有，当时，有；为拐点。内容概要名称 主要内容函数的极值与最大值最小值极值的概念：设函数在点的某个邻域内有定义，若对该邻域内任意一点（），恒有（或），则称在点处取得极大值（或极小值），而成为函数的极大值点（或极小值点）。函数极值的判别法第一充分条件：设函数在点的某个邻域内
