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1、期权定价价中的蒙蒙特卡洛洛模拟方方法期权作为为最基础础的金融融衍生产产品之一一，为其其定价一一直是金金融工程程的重要要研究领领域，主主要使用用的定价价方法有有偏微分分方程法法、鞅方法法和数值方法法。而数数值方法法又包括括了二叉叉树方法法、有限限差分法法和蒙特特卡洛模模拟方法法。蒙特卡洛洛方法的的理论基基础是概概率论与与数理统统计，其其实质是是通过模模拟标的的资产价价格路径径预测期期权的平平均回报报并得到到期权价价格估计计值。蒙蒙特卡洛洛方法的的最大优优势是误误差收敛敛率不依依赖于问问题的维维数，从从而非常常适宜为为高维期期权定价价。1. 预备知知识两个重重要的定定理：柯柯尔莫哥哥洛夫(Koll
2、moggoroov)强强大数定定律和莱莱维一林林德贝格格(Leevy-Linndebbergg)中心心极限定定理。大数定律律是概率率论中用用以说明明大量随随机现象象平均结结果稳定定性的一一系列极极限定律律。在蒙蒙特卡洛洛方法中中用到的的是随机机变量序序列同分分布的KKolmmogoorovv强大数数定律：设为独立立同分布布的随机机变量序序列，若若则有显然，若若是由同同一总体体中得到到的抽样样，那么么由此大大数定律律可知样样本均值值当n很大时时以概率率1收敛于于总体均均值。中心极限限定理是是研究随随机变量量之和的的极限分分布在何何种情形形下是正正态的，并并由此应应用正态态分布的的良好性性质解决决
3、实际问问题。设为独立立同分布布的随机机变量序序列，若若则有其等价形形式为。Blaack-Schholees期权权定价模模型模型的假假设条件件：1、标的的证券的的价格遵遵循几何何布朗运运动其中，标标的资产产的价格格是时间的函函数，为标的的资产的的瞬时期望望收益率，为标标的资产产的波动动率，是是维纳过过程。2、证券券允许卖卖空、证证券交易易连续和和证券高高度可分分。3、不考考虑交易易费用或或税收等等交易成成本。4、在衍衍生证券券的存续续期内不不支付红红利。5、市场场上不存存在无风风险的套套利机会会。6、无风风险利率率为一个个固定的的常数。下面，通通过构造造标的资资产与期期权的资资产组合合并根据据无
4、套利利定价原原理建立立期权定定价模型型。首先先，为了了得到期期权的微微分形式式，先介介绍随机机微积分分中的最最重要的的伊藤公公式。伊藤Itto公式式：设，是二元元可微函函数，若若随机过过程满足足如下的的随机微微分方程程则有根据伊藤藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为现在构造造无风险险资产组组合，即有，经经整理后后得到这个表达达式就是是表示期期权价格格变化的的Blaack-Schholees偏微分方方程。它它同时适适合欧式式看涨期期权、欧欧式看跌跌期权、美美式看涨涨期权和和美式看看跌期权权，只是是它们的的终值条条件和边边界条件件不同，其其价值也也不相
5、同同。欧式看涨涨期权的的终边值值条件分分别为，通过求解解带有终终边值条条件的偏偏微分方方程，得得出欧式式看涨期期权的的的解析解解：其中，为期权权的执行行日期，为期权的执行价格。欧式看跌跌期权的的终边值值条件分分别为，此外，美美式看涨涨期权的的终值条条件为，美美式看跌跌期权的的终值条条件为。然然而，美美式期权权的价值值没有解解析解，我我们一般般可通过过数值方方法（蒙蒙特卡洛洛模拟、有有限差分分法等）求求得其近近似解。风险中中性期权权定价模模型如果期权权的标的的资产价价格服从从几何布布朗运动动即标的资资产的瞬瞬时期望望收益率取为无无风险利利率。同同理，根根据伊藤藤公式可可以得到到对数正态态分布的的
6、概率密密度函数数：设，则的密密度函数数为根据上述述公式，得得到标的的资产的的密度函函数如下下在风险中中性概率率测度下下，欧式式看涨期期权定价价为：接下来，求求解以上上风险中中性期望望。首先先，对上上式的右右边第一一个广义义积分分分别作变变量替换换和，可以以得到再对等式式的右边边的第二二个无穷穷积分，令令，可求得得将以上的的计算结结果代入入期望等等式中，得得到欧式式看涨期期权的价价格公式式为：其中，。可以看出出，对于于欧式看看涨期权权的风险险中性定定价方法法的结果果与基于于资产复复制的偏偏微分方方程定价价方法的的结果是是一致的的。基于于风险中中性的期期权定价价原理在在于：任任何资产产在风险险中性
7、概概率测度度下，对对于持有有者来说说都是风风险偏好好中性的的，便可可用风险险中性概概率求取取期权的的期望回回报再将将其进行行无风险险折现便便是初始始时刻的的期权价价值。蒙蒙特卡洛洛模拟方方法就是是一种基基于风险险中性原原理的期期权数值值定价方方法。2. 蒙特卡卡洛模拟拟方法及及其效率率假设所求求量是随随机变量量的数学学期望，那那么近似似确定的的蒙特卡卡洛方法法是对进进行n次重复复抽样，产产生独立立同分布布的随机机变量序序列，并并计算样样本均值值。那么根根据Koolmoogorrov强强大数定定律有。因此，当当n充分大大时，可可用作为为所求量量的估计计值。由中心极极限定理理可得到到估计的的误差。
8、设设随机变变量的方方差，对于于标准正正态分布布的上分分位数，有有这表明，置置信水平平对应的的渐近置置信区间间是。实际上上，由此此可确定定蒙特卡卡洛方法法的概率率化误差差边界，其其误差为为，误差差收敛速速度是。不难看出出，蒙特特卡洛方方法的误误差是由由和决定的的。在对对同一个个进行抽抽样的前前提下，若若想将精精度提高高一位数数字，要要么固定定，将n增大1000倍；要么固固定n将减小100倍。若若两个随随机变量量的数学学期望，那么么无论从从或中抽样样均可得得到的蒙蒙特卡洛洛估计值值。比较较其误差差，设获获得的一一个抽样样所需的的机时为为，那么么在时间间T内生成成的抽样样数，若若使，则则需使。因因而
9、，若若要提高高蒙特卡卡罗方法法的效率率，不能能单纯考考虑增加加模拟的的次数nn或是减减小方差差，应当当在减小小方差的的同时兼兼顾抽取取一个样样本所耗耗费的机机时，使使方差与与机时tt的乘积积尽量的的小。3. 蒙特卡卡洛模拟拟方法为为期权定定价的实实现步骤骤期权定价价的蒙特特卡洛方方法的理理论依据据是风险险中性定定价原理理：在风风险中性性测度下下，期权权价格能能够表示示为其到到期回报报的贴现现的期望望值，即即，其中中的表示示风险中中性期望望，r为无风风险利率率，T为期权权的到期期执行时时刻，是是关于标标的资产产价格路路径的预预期收益益。由此可知知，计算算期权价价格即就就是计算算一个期期望值，蒙蒙
10、特卡洛洛方法便便是用于于估计期期望值，因因此可以以得到期期权定价价的蒙特特卡洛方方法。一一般地，期期权定价价的蒙特特卡洛模模拟方法法包含以以下几步步（以欧欧式看涨涨期权为为例）:(l)在在风险中中性测度度下模拟拟标的资资产的价价格路径径将时间区区间分成成n个子区区间，标标的资产产价格过过程的离离散形式式是，(2)计计算在这这条路径径下期权权的到期期回报，并并根据无无风险利利率求得得回报的的贴现(3)重重复前两两步，得得到大量量期权回回报贴现现值的抽抽样样本本(4)求求样本均均值，得得到期权权价格的的蒙特卡卡洛模拟拟值另外，我我们还可可以得到到蒙特卡卡洛模拟拟值与真真值的概概率化误误差边界界，这
11、也也是蒙特特卡洛方方法为期期权定价价的优势势之一。由于，mm条路径径的收益益均值为为，m条路径径的方差差为，则则可得95%的置信信区间为为。例1：假假设无红红利的股股票A，初始始价格为为￥6，价格格过程服服从几何何布朗运运动，年年预期收收益率为为10%，收益益率的波波动率为为每年225%，时时间步长长为0.01年年（1年为1000时间间步），给给定数据据，以以及1000，用蒙蒙特卡洛洛方法模模拟资产产的价格格路径如如下：（1）（2）图（1）蒙蒙特卡洛洛方法模模拟股票票A价格路路径，图图（2）蒙特特卡洛方方法模拟拟股票BB价格路路径。若无红利利的股票票B、C、D，其价价格均为为￥6，股票票B的期
12、望望收益率率为0.1，波波动率为为0.66；股票票C的期望望收益率率为0.5，波波动率为为0.225；股股票D的期望望收益率率为0.5，波波动率为为0.66，分别别用蒙特特卡洛方方法模拟拟该三种种股票在在一年内内的价格格路径如如下：（3）（4）图（3）蒙蒙特卡洛洛方法模模拟股票票C价格路路径，图图（4）蒙特特卡洛方方法模拟拟股票DD价格路路径。从图中可可以看出出，股票票C和股票票D的价格格上升速速度较快快，而股股票B和股票票D的价格格波动比比较大。这这是与股股票C和股票票D价格的的期望收收益率较较高，股股票B和股票票D价格的的波动率率较高相相对应的的。欧式看涨涨期权，通通过Bllackk-Sc
13、cholles公公式计算算得的精精确值为为，蒙特特卡洛模模拟的价价格为，其其蒙特卡卡洛模拟拟图如下下：（5）上述同样样的条件件，路径径由1000逐渐渐增加到到100000000条，对对应地分分别得到到的期权权价值的的模拟值值和置信信区间，结结果如下下表所示示：各种路径径下蒙特特卡洛方方法模拟拟的955%置信信区间N模拟值置信区间间1004.311464.001122,4.618805004.222624.009622,4.35663100004.222134.112877,4.31339200004.166334.009844,4.22881500004.166954.112800,4.211
14、111000004.177874.114900,4.208835000004.199604.118266,4.2099410000004.188864.117911,4.198801000000004.199144.118844,4.194444. 蒙特卡卡洛模拟拟方法为为我国权权证定价价权证是一一种合同同，权证证投资者者在约定定时间内内有权按按约定价价格向发发行人购购入或者者出售合合同规定定的标的的证券。权权证发行行人可以以是标的的证券的的发行人人或其之之外的第第三方。权权证主要要具有价价格发现现和风险险管理的的功能，它它是一种种有效的的风险管管理和资资源配置置工具。现选取我我国认股股权证中
15、中的五粮粮YGCC1、马马钢CWWB1、伊伊利CWBB1为例例，以220066年的价价格作为为样本区区间模拟拟认股权权证的价价值，并并将这些些权证的的蒙特卡卡洛模拟拟价值和和由wiind数数据库给给出的理理论值进进行比较较。本例例采用一一年期短短期利率率2.552%作作为无风风险利率率，用这这些权证证的正股股股票价价格序列列来计算算波动率率。现实中用用等时间间间隔观观测股票票价格序序列，股股票投资资的连续续复利收收益率，（），则则的样本本标准差差。如果果用日数数据计算算波动率率，则年年度波动动率按下下式计算算：年度波动动率日日波动率率*（每年年的交易易日数）1/2将时间区区间取为为20006年12月1日20006年年12月29日，则则由蒙特特卡洛方方法模拟拟的认股股权证价价格与BBlacck-SSchooless模型的的精确值值和市场场价格比比较的结结果如下下：
