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1、精选优质文档-倾情为你奉上导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 已知函数（a0）,求函数的单调区间 例1 已知函数（a0）求函数的单调区间 例3已知函数，其中。（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值。解：（）当时，曲线在点处的切线方程为。（）由于，所以 ,由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。 (1)当时，则
2、。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值； 函数在处取得极大值。（1） 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。 以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 (区间确定零点不确定的典例)例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（
3、9x11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11. (2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).X=12y 令L=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）. 3a5,86+a.912x 在x=6+a两侧L的值由正变负.0 所以当86+a9即3a时， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12
4、-9)2=9(6-a). 当96+a即a5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=答 若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若a5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(万元).（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）例2、已知 ().求函数的单调区间; ().求函数在上的最小值; ()对一切的,恒成立,求实数的取值范围. 解：() ()()0tt+2，t无解； ()0tt+2，即0t0）,求函数的单调区间 例3 已知是实数，函
5、数（）求函数的单调区间；（）设为在区间上的最小值。 （）写出的表达式； （）求的取值范围，使得。解：（）函数的定义域为，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。（1） 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。（2） 当时，由，得；由，得。因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。（）（）由第（）问的结论可知：（1） 当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。（2） 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以： 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以。 当，即时，在上单调递减，所以。综上所述，（）令。若，无解；若，由解得； 若，由解得。综上所述，的取值范
6、围为。三.求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。例1已知函数 求函数的单调区间例2已知函数求函数的单调区间 例3 设，函数，试讨论函数的单调性。解： 。考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；（2） 当时，。由，得，因为，所以。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；（2
7、） 当时，。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。综上所述：（1） 当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。（2） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数。（3） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。 19设a0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性。解：函数的定义域为当的判别式当有两个零点，（1）且当内为增函数；当内为减函数；当内为增函数；当内为增函数；当 时，由 0 0是增函数，在上0是增函数。所以函数在x=a时，所以函数在x=a时，因对有恒成立， 求实数的取值范围.极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨
8、论如下： a0 当两个极值点都在指定区间内时。即03a3，也就是0a0时为什么分为0a0是增函数，在上0是增函数。所以函数在x=a时，所以函数在x=a时， 有恒成立，等价于 解得即0a1 当两个极值点有一个在指定区间内时。即03时，也就是10时为什么分为0a0是增函数，在上3时， （当a0时为什么分为0a0是增函数， 与 矛盾。 综上：对有恒成立时，实数的取值范围是.例4设函数，其中，求函数的极值点。解：由题意可得的定义域为，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以,在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在
9、上无极值点。（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：（）当时，所以。此时，与随的变化情况如下表：0递减极小值递增由此表可知：当时，有唯一极小值点。（）当时，所以。此时，与随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。综上所述：（1） 当时，有唯一极小值点；（2） 当时，有一个极大值点和一个极小值点；（3） 当时，无极值点。从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。 (19)()小问5分，()小问7分.)已知函数(其中常数a,bR),是奇函数.()求的表达式;()讨论的单调性，并求在区间1,2上的最大值和最小值.（21）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.解：（） 当 所以 因此， 即 曲线又所以曲线 （）因为 ，所以 ，令 （1）当所以，当，函数单调递减；当时，此时单调递 （2）当 即，解得当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由于时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。综上所述
