第三讲 质数、分解质因数

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1、第三讲 质数、分解质因数“质数与合数”是我们之后学习“约数与倍数”的基础，分解质因数甚至是解决 很多问题的出发点，因此不容忽视，需要掌握得非常熟练而且质数本身来说就 是奇妙无穷的，它包含一群没有直观规律，却具有一些简洁的内在规律的数，比 如说著名的歌德巴赫猜想就是建立在质数（也称为素数）的概念之下的：（1）大于4 的偶数都可以表达成两个奇素数之和，（2）大于 7 的奇数都可以表达成三个奇素 数之和这个猜想至今无法完全证明，更加使得我们为这个结论的简洁完美而惊 叹最基本的概念和性质，如下：1、质数与合数一个数除了 l 和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数比如 2，3，7, 37,.一个数

2、除了 1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数.比如 4, 8, 14, 48,.特别的：1既不是质数也不是合数.（同学们一定注意0这 个数只有在做判断题时是自然数，平时做题目我们都不考虑0这个数。）对于一个不很大的自然数n（n1,n为非完全平方数），可用下面方法判断它 是质数还是合数：先找出一个大于n的最小的完全平方数k2，再写出k以内的所有质数；若 这些质数都不能整除n,则n是质数；若这些质数中有一个质数能整除n,则n 为合数。2、质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数.把 一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.任意大于1 的自然数

3、都唯一的表示为A = ab1 ab2abn的形式（其中a ,a，a都是质因数）。比如：把421 2 n12 n分解质因数应该是42=2x3x7,其中2, 3, 7是42的质因数.又如：54 = 2x33,其中 2 和 3 都是 54 的质因数.经典例题例1、两个质数的和是99,那么这两个质数的积是多少？分析：考虑到奇偶性, 99=奇数偶数,而质数中唯一的偶数是2,所以99=297,乘积为 2x97=194.例 2、有两个质数，它们的和与差都是质数，求这两个质数。分析：除 2 外的质数都是奇数，奇数+奇数=偶数，可见两个质数中必有一 个是2，3 不符合题意，5 符合。且没有其它可能，因为除 3

4、外的质数除以3 的 余数可以是1 或 2，如果余1，那么它与2 的和就是3 的倍数，不是质数，同理 如果余 2，它与 2 的差也为 3 的倍数，也不是质数。只有 2 和 5 满足题意。例 3、9 个连续的自然数中质数最多有几个？ 分析：首先考虑奇偶性，要使得质数尽可能多，应使奇数比偶数多，所以这 9个连续自然数依次是奇、偶、奇、偶、奇，共5个奇数，它们的个位两两 不同，其中必定有一个为5，如果这个数不是5，那么这个自然数一定不是质数， 如果这个数是5则有4个质数：2， 3， 5， 7.所以9个连续自然数中最多有4个 质数。方法总结 从本题中我们可以看到质数和奇偶性常常“并肩作战”，考虑奇偶性会

5、带给我 们意想不到的结果。尤其是在质数中 2 是唯一的偶数，而 5 是唯一的末尾是 5 的数。巩固练习练习1： A、B、C为三个质数，A+B=16, B + C=24, AvBvC，求这三个 数。练习2： Ax(B+C)=357算式中A、B、C分别代表不同的质数，当A、B、 C 分别为何数时，能够使上面的算式成立。练习 3：两个自然数的和与差的积是41，求这两个自然数的积？练习4： A是一个质数，而且A+6, A+8, A+12, A+14都是一个质数， 试求出所有满足条件的 A。练习 5：有人说， “任何七个连续自然数中一定有质数”。请你举个例子说明 这句话是错的。经典例题例 4、有三个学生

6、 , 他们的年龄一个比一个大 3 岁,他们三个人年龄数的乘积 是 1620, 这三个学生年龄的和是多少？分析：根据三个学生的年龄乘积是 1620 的条件，先把 1620 分解质因数， 然后再根据他们的年龄一个比一个大 3 岁的条件进行组合.1620=2x2x3x3x3x3x5=9x12x15所以，他们年龄的和是36岁。例5、有3个自然数a,b,c.已知axb=6,bxc=15,axc=10。求axbxc是多少？ 分 析 ： 因 为 6=2x3 ， 15=3x5 ，10=2x5 ， 那 么(axb)x(bxc)x(axc)=(2x3)x(3x5)x(2x5)。变型后a2 xb2 xc2 = 2

7、x32 x52，可得到 (axbxc)2 = (2x3x5)2，所以 axbxc=30.方法总结 当我们得到几个数的乘积时，我们可以首先考虑到将这个数分解质因数，然 后凑出符合条件的数。这个性质常常用到。巩固练习 练习1：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而 且三个数的乘积是15400。试求这三个自然数。练习 2：有三个人都是属羊的，在某一年这三个人的年龄的乘积恰好是12025，这一年这四个人的年龄分别是多少岁？练习 3：四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称 一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油 的重量

8、之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?练习 4：如果两数之和是 64,两数的积可以整除 4875,那么这两数之差是多 少?练习 5：有四个不同的自然数，它们的和是 1649，如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这四个数中，最大的那个是多少？经典例题例 6、将 0.14,0.33,0.35,0.3,0.75,0.39,1.43,1.69 八个数平均分成两组, 使这 两组的乘积相等.分析：根据所给数的特点,把它们都扩大 100 倍将小数化成整数:14,33,35,30,75,39,143,169,然后,只需将这些数分成等积的两组即可 .要使这两 组数的乘积相等,这两组数中的每个因数虽然不一定相等

9、,但是它们所含有的质因 数必须相同.因此,先将这八个整数分解质因数:14=2x7,33=3x11,35=5x7,30=2x3x5,75=3x5x5,39=3x13,143=11x13,169=13x13.其中质因数3,5,13各有四个,质因数2,7,11各有两个,这样所分的每组四个数中质因数3,5,13 各两个,质因数2,7,11 各一个.再按上述进行组合即得:75x14x169x33=35x30x143x39因此，原题等式为:0.75x0.14x1.69x0.33=0.35x0.3x1.43x0.39 或 1.69x0.33x0.3x0.35=1.43x0.39x0.75x0.14。方法总结

10、 本题中利用乘积相等时，两个数的质因数一定相同的特点，将所有的数分解质因数，这样只要我们求出具有相同质因数的两组数就可以了。巩固练习练习1：边长为自然数，面积为 1 05的形状不同的长方形共有多少种？练习2：把5，6，7，14，15分成两组，使每组数的乘积相等。311练习3：三个质数的倒数和为-311，那么这三个质数的和是多少？1001课后作业1、(1)有两个质数，它们的和是小于 100 的奇数，并且是17 的倍数。那么这两个质数各是多少？(2)、Ox(D + A)=209在O、口、中各填一个质数，使上面算式成立。(3)、如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在圆圈中分别填上六个质数，它们

11、的和是 20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。那么，2、证明：对于每一个非零自然数 n，数JJJ211二y是合数n个n个这六个质数的乘积是多少？3、(1)、如果一个正奇数不能写成三个不相同的合数之和，我们就称这个数为“迎春数”，那么最大的“迎春数”是多少？(2)、最大的不能写成两个奇合数之和的偶数是几？4、(1)、存在这样的质数，它加上10是质数，它加上14后仍然是质数,问这样的质数有哪些？(2)、在放暑假的 8 月份，小明有5 天是在姥姥家过的。这5 天的日期除一 天是合数外，其他四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这 个合数加上 1，这个合数乘以 2 减去 1，这个

12、合数乘以 2 加上 1。小明住在姥姥 家的这几天分别是()号。5、99个连续自然数之和等于abed,若a、b、c、d皆为质数，那么a+b cd 的最小值是多少？6、分别求出上面的数有多少个正约数，并求72 所有正约数的和。7、 (1)把 40、 44、 45、 63、 65、 78、 99、 105 这 8 个数平分成两组，使得 每组四个数的积相等。(2)二十几个小朋友围成一圈，从 1 开始按顺时针方向一圈一圈地连续报数如果报6和2008的是同一个人，那么共有多少个小朋友？(3)约数个数是 8 的两位数有哪些？(4)一个自然数有12个约数，且它能被3和25整除，这个自然数最小是多少？&要使97

13、5x935x972x()这个乘积的最后四位数字都为“0”，则() 内填入的最小值是多少？(2)将1 至100这100个自然数相乘，试求所得乘积尾部零的个数。1x2x3xx99x100= 12nM,其中M为自然数，n是使得等式成立的最 大自然数。求n的值，并说明M能否被2或3整除。(4)若x、y、z、w是四个互不相等的自然数，且它们之积为1998,试求x yzw 的最大值。9、从1、 2、 3、 、 100这100个数中取出不同的两个数，要使取出的 这两个数的和是3的倍数，共有n种取法，那么n的约数共有()个。10、(1)四个不同的非零自然数的和是1111，那么这四个数的最大公约数最大是多少？(2)如图：街道ACB在C处拐弯，AC=715米，CB=520米，在街道的一侧等距离的安装路灯，并且要求A、B、C处必须各安一盏灯，A问这条街道最少装多少盏灯？C E11、爷爷现在的年龄是明明现在年龄的 7倍，再过若干年，爷爷的年龄分别是明明年龄的6倍、 5倍、 4倍、 3倍。那么爷爷现在多少岁？12、(1)两个整数A、B的最大公约数是C、最小公倍数是D,并且已知C 不等于1,也不等于A,也不等于B。C+D=187，则A+B=()。(2)已知两数差是2,他们的最大公约数与最小公倍数之差是142,这两个数 分别是多少？