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1、知识点梳理：一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相
2、同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和
3、向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量
4、加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向
5、量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关例1 给出下列命题： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/，其中正确的序号是 例2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： ， 例3设非零向量、不共线，=k+，=+k (kR)，若，试求k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴
6、、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则例1 已知向量，且，求实数的值例2已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标三平面向量的数量积1两个向量的数量积
7、：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同
8、时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有例2已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角 例3 已知，按下列条件求实数的值 （1）；（2）；课堂练习：一、选择题1下列命题中正确的是（ ）A BC D2设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）A B C或 D无数多个3若平面向量与向量的夹角是，且，则( )A B C D4向量，若与平行，则等于A B C D5若是非零向量且满
9、足， ，则与的夹角是（ ）A B C D6设，且，则锐角为（ ）A B C D二、填空题1若，且，则向量与的夹角为2已知向量，若用和表示，则=_。3若,，与的夹角为，若，则的值为 4若菱形的边长为，则_。5若=，=，则在上的投影为_。三、解答题1求与向量，夹角相等的单位向量的坐标2已知向量的夹角为，,求向量的模。3设非零向量，满足，求证： 4已知，其中(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)课后作业：1、化简：(1)（)()= . (2) = 2、已知正方形的边长为1，=，=，=,则| + + |等于 3.已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 。4、在菱形ABCD中，（+）（-）= 。5、 平面向量，若存在不同时为的实数和，使且，试求函数关系式6、非零向量（）与（2）互相垂直，（2）与（2+）互相垂直，求向量与的夹角的余弦值 。
