《03第三节偏导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《03第三节偏导数（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节偏导数分布图示偏导数的定义例2有关偏导数的几点说明偏导数的几何意义例6高阶偏导数例7例10混合偏导数相等的条件内容小结习题6-3例1例3例4例5偏导数的经济意义例8例9例11例12课堂练习内容提要：一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数Z = f (x, y)在点(Xo, y)的某一邻域内有定义处有增量ix时，相应地函数有增量f(x: x,y。) - f (X,y。),如果ijm揪。+以蓦)二极0&0)存在，则称此极限为函数.x )0对x的偏导数，记为,当y固定在y0而x在x0z= f （x, y）在点（x,yo）处例如，有:Zx fy =yx * y=y,ZXXMy A0f （x。x,
2、 y ） - f （x , y。）fx（X,y。x）=im类似地，函数Z = f (x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数为Ijm f（x0，y0y） f（x0，y）.y）0记为；：ffE=0 y To、队 或 fy（ X。，y。）.y =y只需把其余自变量看作常数，上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：(1) 对一元函数而言，导数 孚可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商.但偏导 数的记号卸是一个整体.；:x(2) 与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的
3、定义来求.(3) 在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续.但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续八例如，二元函数f (x, y、= x2弩y(x,y) = (0,0)0,(x,y)=(0,0)在点(0,0)的偏导数为f(0fx(0,0)二如 0 :x,0)-f(0,0)0=.叽丑0,.y-0f (0,0) = lim f(0,0y yMf(0,0)=lim 0.x-_0 .Ny=0.但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为z = f(x,y), M (x0, y。，f(x0,y。)是该曲
4、面上一点，过点M。作平面y = y，截此曲面得一条曲线，其方程为,z= f (x,yo)则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率(图6-3-1).同理，偏导数fy(x,y0)就是曲面被平面x = x0所截得的曲线在点Mo的切线MTy对y轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量Q=Q(p,y)，其中P为该产品的价格，y为消费者收入.记需求量Q对于价格P、消费者收入y的偏改变量分别为PQ =Q(p p, y) -Q(p,y), pQ =Q(p,y y) -Q(p,y).Q 易见，p表示Q对价格p由p变到p + Ap的平均变化率.而P表示当价格为p、消
5、费者收入为y时，Q对于p的变化率.称EpgQQ Ppp/ p.：p Q为需求Q对价格p的偏弹性.上 Q同理，表示Q对收入y由y变到y+Ay的平均变化率而y=limyQ:y片-y表示当价格P、消费者收入为y时,Q对于y的变化率.称Q/Q y yEy =.姬。：y/y.y Q为需求Q对收入y的偏弹性.五、高阶偏导数设函数z = f (x, y)在区域D内具有偏导数zz、=fx(x，y)， = fy(Xy y)，则在D内fx(x,y)和fy(x, y)都是x、y的函数.如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数z=f(x,y )的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数:c cz 11 fAz /、(xcx) :2 = fxx(x，y)，xx yc czL、f Lj-2C- cz c z=fxy(x，y)，zf其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数吃2 = fyy(x, y),类似地，可以定义三阶、四阶、以及口阶偏导数.我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理1如果函数z = f (x, y)的两个二阶混合偏导数 空左及三2在区域D内连续，则yx : x y在该区域内有二土 =.
