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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)椭圆共轭直径的基本性质及应用由椭圆共轭直径的基本性质生成的高考试题 关于椭圆共轭直径的问题已成为高考的热点内容(由于现行的中学课本中没有椭圆共轭直径的概念,高考试题中往往通过直线的斜率之积或者坐标来反映),通过研究可发现椭圆共轭直径的三条基本性质.母题结构:己知A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆G:+=1(ab0)上满足:+=0的任意两点,则:x2=y1,y2=x1;x12+x22=a2,y12+y22=b2;|OA|2+|OB|2=a2+b2,4|OP|2+|AB|2=2(a2+b2
2、)(其中,P是AB的中点);AOB的面积SAOB=ab,sinAOB=.母题解析:设x1=acos,y1=bsin,x2=acos,y2=bsin(0b0)上的任意两点,若AOB的面积SAOB=ab,则+=0,即A,B是一对共轭直径的端点;由此可利用母题解决问题. 3.求面积的最大值 子题类型:(2015年浙江高考试题)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.()求实数m的取值范围; ()求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解析:()设AB中点P(x0,y0),由kOPkAB=-y0=x0P(-,-),由P在椭圆内m(-,-)(,+);()由AOB面积的最大值=ab=.
3、点评:若A,B为椭圆上的任意两点,则AOB面积的最大值=ab;我们将在下面的母题中给出绝妙的证明. 4.子题系列:1.(2007年浙江高考试题)如图,直线y=kx+b与椭圆+y2=1交于A,B两点,记AOB的面积为S.()求在k=0,0bb0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值. 5.子题详解:1.解:()设A(x1,b),B(x2,b),由+b2=1x1,2=2S=b|x1-x2|=2bb2+(1-b2)=1;()由AOB的面积S=1S=ab;设A(x0,y0),则B(-2y0,x0);由|AB|=2(x0+2y0)2+(y0-x0)2=45(+y02)+3x0y0=4,又由+y02=13x0y0=-1(x0+2y0)2=x02+4y02+4x0y0=x0+2y0=y0-x0=直线AB:(x0+2y0)(y-y0)=(y0-x0)(x-x0)(x0+2y0)y=(y0-x0)x+x02+2y02直线AB:y=x+或y=x-或y=-x+或y=-x-.2.解:()由e=,a=b=1椭圆C:+y2=1;()因为当且仅当|OA|2+|OB|2=a2+b2=4时,S取得最大值=ab=;又由坐标原点O到直线l的距离为|AB|=2AOB=900时,S取得最大值=ab=.
