《高中三年级数学第一轮复习讲义9函数的周期性与对称性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中三年级数学第一轮复习讲义9函数的周期性与对称性（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018届高三第一轮复习讲义8-函数的周期性与对称性一、知识梳理1. 函数的周期性如果对于函数yf(x),如果存在一个常T,使得当x取定义域D内的任意值时，都有f(xT)f(x)成立0那么函数yf(x)叫做周期函数,常数T叫做函数yf(x)的_周期.对于一个周期函数yf(x)来说,如果在所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做函数yf(x)的最小正周期.2. 函数图像的对称性(1) 轴对称函数yf(x)的图像关于直线xa成轴对称图形的充要条件是_f_(_x_)_f_(2_ax_).证明:任取yf(x)的图像上的一点(x0,y0),则(xo,yo)关于直线xa对称的点为(2axo
2、,yo),函数yf(x)的图像关于直线xa成轴对称(2ax0,yo)也在图像上，即f(2axo)yof(2axo)f(xo),由xo的任意性，f(x)f(2ax).以ax代替上式中的x,即有f(ax)f(ax).(2) 中心对称函数yf(x)的图像关于点A(a,o)成中心对称图形的充要条件是_f_(_x_)f_(2_a_x_)_.一般地,函数yf(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是_f_(_x_)_2_b_f_(_2_ax)_.3. 拓展：1函数 y f(x)满足 f(a x)对称;f(bx)时，函数yf(x)的图像关于直线x2函数 y f(x)满足 f (a x)f(bx
3、)c时，函数yf(x)的图像关于点abc，对称；22.ba3函数yf(ax)的图像与yf(bx)的图像关于直线xa对称.2.1.一4fxa，则fx是以T2a为周期的周期函数；fx5fxafx,则fx是以T2a为周期的周期函数；6f(x a)f x是以T 3a为周期的周期函数;7f (x a) 1，则f f(x)x是以T 3a为周期的周期函数;、基础检测:1 .若函数yx2(a2)x3,xa,b的图像关于直线x1对称，则b2 .若函数f(x)log2|2xa|的图像关于直线x3对称，则实数a.3 .函数y1g的图像关于答1xA.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线yx对称1,0上4 .若函数
4、yf(x)定义在R上的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在是减函数，那么f(x)在2,3上的单调性是答A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增5 .定义在R上的函数yf(x)的图像关于直线x1对称，若f(x)是偶函数,且f(0.5)2,则f(7.5);(2)若f(x)是奇函数，则f(4).6 .已知定义在R上的函数yf(x)满足f(3x)f(3x),若函数yf(x)恰有四个零点则这四个零点的和为.三、例题精讲：(x1)2sinx例1：函数f(x)4的最大值和最小值分别为M,mUMmx1答案：2;例2：设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x2),f(1)2,则f(2
5、)f(7)答案：0;1例3：函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则fxff51答案：1；5例4:已知定义在R上的奇函数f,满足f=f,且在区间0,2上是增函数，若方程f=n0在区间8,8上有四个不同的根xi,x2,x3,x4，则xi+X2+X3+X4=.答案：8;1例5:已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且yf(x)的图像关于x1对称，则2f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)。答案：0;例6、定义在R上的偶函数fx满足fx3f3x,在区间3,0上递减，设af1.5,b f 22 , c f 4 ,则口 A bc a B b ac Ca bc Dc b a答案：B;例7、已知
6、定义在 R上的函数f (x)满足f(x4) f(x);对0x1x22时,f(x1) f(x2)； y f(x2)的图像关于y轴对称，则下列结论中正确的是A. f (4.5)f(6.5)f(7)B.f(4.5)f(7)f (6.5)C. f (7)f(4.5) f (6.5)D.f(7)f(6.5)f(4.5)答案：B;例8.定义在R上的函数f (x)图像关于点3.一 .一-0对称且满足43f(x) f(x 1) 1, f(0)2,则f f (2)f (2005)的值为A. 2B.C.0D.1答案：B;例9:已知函数yf(x)满足 f(x) f ( x) 2002,求 f 1(x)f 1 (20
7、02 x)的值。答案：0;例10:设函数yf(x)的图像关于x 1对称，且当x 1时，f(x) x2 1 ,求函数f(x)的解析式.解析:解法一：由函数图像是抛物线，且顶点为(0,1),则对称后的顶点为(2,1),又因为对称所得的抛物线的开口大小不变2因此可知其斛析式为f (x) (x 2)12x 4x 5 ,综上所述，所求函数的解析式为 f(x)X2 1 x 12x 4x 5 x 1解法二：设点(x,y)(x1)在函数的图像上,则(x,y)关于直线x1的对称点为(2x,y),由(2 x, y)也在函数的图像上则 f(2 x) y,且 2 x 1,又 2 x 1,y f (2 x) (2 x)
8、2 12一， 一x 4x 5(x 1),综上所述，所求函数的解析式为 f(x)x2 1 x 12x 4x 5 x 1f(x).当 x 2,3时，f (x) x .例11:设定义域为设的偶函数yf(x)满足f(x2)求yf(x)在区间1,1上的解析式；(2)求yf(x)在区间2k1,2k1(k裳)上的解析式【解析】解：当文曰。2时：jc+2e13,/(x+2)-x+2,由/任32)=可知=f(x32)=,+2工0=1,而当工在-1期吐TEpM,-X+2,由r。)是偶函数，粒/(=r-2n之-L0I综上所述“叔也会卜i一-JQ解：当KEpfc-LZ砧+lKkEZ)时，Jc-2te-Ll,f(工一狗
9、由/(*)/可知)口)是以2为周期的周期函教，11ttf(x)=f(x-2k)=lx-2k2:x.2k-L2k-l,因此/H-2旧包工E磔-L比-1娱EZ).例12：定义在故上的函数yf(x)满足：对于任意xKf(x1)f(x),(1)求证：yf(x)是周期函数，并指出它的一个周期；(2)若当x0,1)时，f(x)x1,求f(x)在1,2)上的解析式；在的条件下，若函数g(x)f(x)kx在区间2,2)上有两个零点，XX数k的取值范围.-1【解析】C耻明：/G-2)=/V-i)=-/住-1)=十切=/),故=琦是以2为周期的周期函数一Jr 、 Tk jn解F烤虑方程/近解的个数也即困数j 7。
10、)的图像与厂区当HT斗时的图像有两个公共点1根据图像可知:直线上=依制率应大于工即Q斛以工-1代普/*+d=.的工则/=-/住-。,当了HL2)时，x-1e0:1)3/CtT)二(工一1).1二二板FOA小工T=式(1一1)-1因此/日)-Kp).例13:设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数.若函数f(x)xg(x)在区间3,4上的值域为2,5,求f(x)在区间10,10上的值域.【解析】由题意，三/100-4贝I对任意XE4工习,x-1e4.g(r)-/(x)-x=由耳3M式工-1)结合式工F做7)Tf,/住-im=，-：=m-D=/-u一ml/t一柏二工匕其卬晨由此可知，/(幻在区间-
11、010上的值域为-15工四、难题突破：例1：设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR,都有f(x4)f(x)且当x2,01V时，f(x)(-)x1,若在区间(2,6内关于x的万程f(x)loga(x2)0(a1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是答案：3/4,2；1例2：已知f(x)是定义在4,4上的奇函数g(x)f(x2)，当x2,0)U(0,2时,31g(x),g(0)0,则万程g(x)logi(x1)的解的个数为.2|x|12提示：根据题意+结合点对称定义，推出gx的点对称中心，再根据对称中心，作出图像；答案：9个；五、课堂练习：1 .设f(x)ax2bxc(a0)满足f(1x)f
12、(1x),则f(2x)与f(3x)的大小关系是.2 .定义在R上的奇函数yf(x)满足f(x3)f(x),且0x1时f(x)x,则f(15.5).3 .定义在R上的函数yf(x)满足f(x1)f(1x),则函数的图像关于直线对称.4 .已知yf(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数，且当0x2时，3一，,一、一,，一，f(x)xx,则函数yf(x)在区间0,6上有个零点.5 .已知yf(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且yf(x)是偶函数.若当x(0,1)时，f(x)2x1,则f(log210).6 .对于函数f(x)x|x|bxc,给出以下四个命题：1当c0时，f(x)是奇函数；
13、2当b0,c0时，该函数只有一个零点；3函数的图像关于点(0,c)对称；4该函数至多有两个零点；其中正确的命题的序号是.7 .定义在R上的偶函数yf(x)满足：f(x1)f(x),且在1,0上是增函数，下面关于f(x)的命题：1f(x)是周期函数；2f(x)的图像关于直线x1对称；3f(x)在0,1上是增函数；4f(x)在1,2上是减函数；5f(2)f(0);其中真命题的序号是8 .已知yf(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且yf(x)是偶函数.当x0,1时,f(x)x1.求yf(x)在区间(1,2)上的解析式(2)试问方程f(x)1lgx的实数解有多少个？请画示意图说明9 .已知函数yf(x)的定义域为R,且对任意xR,都有f(x)f(x1)f(x1),求证:函数f(x)是周期函数48x10.定义函数f(x)零点的和为则函数g(x) xf (x) 6在区间1,8内的所有六、总结回顾：奇偶性、周期性、对称性之间的关系:函数周期对称轴对称中心奇函数4axa2a,0偶函数4ax2aa,0四种相似形式：1f(x)f(x2a)T2a2f(x)f(x2a)对称轴xa3f(x)f(x2a)T4a4f(x)f(x2a)对称中心(a,0)七、
