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1、求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。l 求动点轨迹的常用方法动点P的轨迹方程是指点P的坐标（x, y）满足的关系式。1. 直接法（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M
2、到圆C的切线长等与，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线 解：设动点M(x,y)，直线MN切圆C于N。依题意：，即而,所以(x-2)+y=x+y-1化简得：x=。动点M 的轨迹是一条直线。2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。例题：动圆M过定点P（4，0），且与圆C：相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：设M(x,y)，动圆的半径为r。若圆M与圆C相外切，则有 MC=r4若圆M与圆C相内切，则有 MC=r-4而MP=r, 所以MC-MP=4动点M到两定点
3、P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。动点的轨迹方程为：3. 相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x，y)的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。解：设M(x,y), A(),依题意有：x=, y=则：x=2x-4, y=2y-3, 因为点A()在圆上，所以点M的轨迹方程为：动点M的轨迹为以（2,）为圆心，1为半径的圆。4. 参数法例题：已知定点A（-3,
4、0），M、N分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且,点P在直线MN上，。求动点P的轨迹C的方程。解：设N(0,t), P(x,y)直线AN的斜率，因为，所以直线MN的斜率直线MN的方程为y-t=,令y=0 得x=,所以点M(,0), 由, 得x=), y-t=,则所以动点P的轨迹方程为：5. 交轨法例题：如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。求直线与的交点的轨迹的方程。解：设，由已知得，则直线的方程为，直线的方程为，即y+2= y-2= - 两式相乘，消去即得的轨迹的方程为练习与答案1. 设圆C与圆x2+（y.3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为AA抛物线
5、 B双曲线 C椭圆 D圆2. 已知圆，圆，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。(x0)3. 过点A(4，0)作圆Ox+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。(x-2)+y=4 (0x1)4. 已知圆C：+(y-4)=1, 动点P是圆外一点，过P作圆C的切线，切点为M，且PM=PO（O为坐标原点）。求动点P的轨迹方程。提示：PO=PM=3x+4y-12=05. 已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。解：动点P 到圆C的最短距离为PC-1,动点P 到圆C的最短距离为PC-1,依题意有：PC-1=PC-1，即PC=PC所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。所
6、以动点 P 的轨迹方程为：2x+y-5=06. 已知双曲线的左、右顶点分别为, 点P（），Q（）是双曲线上不同的两个动点。求直线与交点的轨迹E的方程。解：由为双曲线的左右顶点知，两式相乘，因为点在双曲线上，所以，即，故，所以，即直线与交点的轨迹的方程为7. 已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程。解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.8. 已知点C（1，0），点
7、A、B是O：上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。解：连结CP，由，知ACBC|CP|AP|BP|，由垂径定理知即 设点P（x，y），有化简，得到。9.设椭圆，过点的直线交椭圆于A、B，O为坐标原点，点P满足，当绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。解：直线过点，设其斜率为k，则直线的方程为，记，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解，其方程组中消取得 点P的坐标为 即：点P为，设点P为，则P点的轨迹参数方程为 （为参数）消去参数得：当斜率不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，故：动点P的轨迹方程为。10. 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。求圆C的
8、圆心轨迹L的方程。解：两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，由题意得或，可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则，所以轨迹L的方程为11. 如图所示，已知P（4，0）是圆内的一点。A、B是圆上两动点，且满足,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设R(x,y),依题意，有OR+RA=36,而RA=RP,所以OR+RP=36, 即化简得：设Q(X, Y),因为R(x,y)是QP的中点，所以有x=,y=,故化简得：X12. 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP。当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程。解：如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，因此即另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直平分线，又因此M在轴上，此时，记M的坐标为为分析的变化范围，设为上任意点由 （即）得，故的轨迹方程为综合和得，点M轨迹E的方程为13. 点M是椭圆上的动点。如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，=0,求线段的中点的轨迹方程；解：设 .因为，故 因为 所以 . 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点，所以 由因为 ，结合，得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故动点P的轨迹方程为（x-。1教辅工具b
