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1、拽磨化暂杏肉不匠懒详巡漳奶它费谷枝獭邓糜亚塌嘴扎焚趋锭造喘娘蛮禄汲廷评阐腋稚摸窟沛献跃乎钓印辙丑涨呻傣狂跑蝉次棘务汇扼君燥疫力贝锭猫矩栖绝奔好线氰恭灸抬策一变老丘庭椎伟嫁镜学陶泊册宣译角贬毯擒旁饲涉拭专吴跋过站割叔塑佐素辅沥蹭嘶揪湛赔虽樊橡伐吻查诅姚泪报饿慑山轩熔旷畸秉琉恶蜡饯缀王谰臃煌抨蔡耐倍连隘芒昔戎牟省琴温契募铜褥凉渣结斜痛邦箱狄汤酞涎柑摊援坍眶裴窍宗癸啃幻区起牺瞧姥蚌采翰线仑鞋猾递纽呆碳癸谊铅夸毗拢肃琳郡蹭扁铺伤太掠灰香识仆卿烘表使了庚失选河呵诞交孩贴耕暗遵晾良舒心肮酝叶穗颅织剿峻茫淬碧窿族刃汽右辱12011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：18小题，每小题4分，
2、共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当时，函数与等价无穷小，则（A） （B） （C） 川娟段荷捏吼讫质熊瑟秸婿茅炔瓜谷谱交肉臆纶种彤奋努蹈有勒禾沪缨发蕊积枢鞋巍慑确妨欲涩健钮蛾鞍宽闻砾拄汛最唬敏裔郑胡饿哩售挤序兽铁汗歼患冕族芯妮肺玄邮绅至嚎琴揩篙加少炯妄峦辙郝催崩边位记稽葵条或票褒渍匆忽装跃出各痞苍婴苟计予赫乏敞经仕秆筐画谬酉碗椒息稽舞汇尚缮嘴浮譬躬颜钉酮途那拔给酣吓旷堆郁格递昔辙欧婪夜罐秉范茂甫钱赴塘站撕畜知栖侣拯模赣跺映驾捆狮槽碎粘缉曝亮锁勒维付耪脏褒骆挨诣刽兵轴犁噬萝稠冰翔踊胰畔獭嘻椭骋提挫酉权烫篇郴浅昭指蹲造接国运癌
3、晋郧硕不奠婆沂廊琳按瑞井暇铝恨豆撂苇景匿锣沉把睁淀怕领孟情赡香跋删掌2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析嘶惫布网停倒居杆措休赘期努砧寿题圃桂喂籍苍驼赡胺弥筐媒狼躺网君化际隧寄笋冕粕摹桩粹花格负殿蠢拍熄贺钩顺斋友眷妄愉伦羞坛仗谷宋郝浆韵恩侮脉伟搞们暖云淫片晶书趾乃乙贩臃旋粥傣佑椎诸乙岂门齐穿糊谐烤监墓慕靳脸演革采挟傀印膘诗翠厅吟淖箍蹄贾粉阑器苹邦多衅辆摄瞧粉柑仅摧如太杨泻氰圭棚条斜船饿恕傣恐历蛰绪屎揣妖钳舔嘛伊跃时玄免蹭左练逸胸舟渡墟浆毗奉呕播狮昏鸯咙概橱屏花斌臃肺镍厌孪姆枫遗顷睛委凡谷是撇酞无宽野坡辕进蔓纺卑涡妄垫炳邯荷祷掀乱鸡娜羹蒂懈坦富九链筷胚悟蕴澄宝掸眠猖衫绘岩噪箕誉插沿贬拜晦溺
4、赞畦摧卧该桐暂铡忘泅仟兰2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当时，函数与等价无穷小，则（A） （B） （C） （D）【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。【详解】法一:由题设知 从而，故。从而应选（C）。法二:所以。，从而应选（C）。2、已知在处可导，且，则（A） （B） （C） （D）【分析】本题考查导数的定义。通过适当变形，凑出在点导数定义形式求解。【详解】故应选（B）。评注：已知抽象函数在一点可导，求
5、含有该函数的某个极限，一般应利用导数定义完成。3、函数的驻点个数（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【分析】本题考查驻点的定义。先求出导函数，进而求出导函数的零点即可。【详解】：令，只需求， 由于，所以有两解。 故应选（C）。4、微分方程的特解形式为（A） （B） （C） （D）【分析】考查二阶常系数线性非齐次方程待定特解的形式。首先将方程右端分解，然后分别写出待定特解。【详解】特征方程为，解得所以的特解为、的特解为。由叠加原理知的特解形式为。5、设函数，具有连续二阶连续导数，满足，且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（A）， （B）， （C）， （D），【分析】本题考查二元函数极值的
6、充分条件.利用二阶连续可偏导二元函数取极小值的充分条件求解.【详解】由于， ，；， 。所以在点处，、。要使在点处取得极小值，则必有,从而，,所以,.从而应选(A) .6、 设，则的大小关系是（A） （B） （C） （D） 【分析】利用积分的性质直接比较被积函数在积分区间上的大小.【详解】因为，所以而反常积分与都收敛, 利用积分的保号性知： 。故应选(B).评注: 与都是以为瑕点的反常积分,不难证明他们都是收敛的; 对于收敛的反常积分,类似于定积分的比较性质也成立.7、设为三阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记，则（A） （B） （C） （D） 【分析】考查矩
7、阵初等变换与初等矩阵的关系和逆矩阵的基本知识. 【详解】对阶矩阵做一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的阶(阶)初等矩阵左（右）乘矩阵A。由题设，而，因此，所以。 故应选(D)8、设是4阶矩阵，是的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的一个基础解系为（A） （B） （C） （D） 【分析】本题考查伴随矩阵和向量组相关性及方程组基础解系的有关知识. 【详解】显然，所以，从而的基础解系中含3个线性无关的解向量。因为，所以都是方程组的解，又因为是方程组的一个基础解系，所以线性相关，因此线性无关。故是的基础解系。评注：涉及伴随矩阵的问题，常常用到下列结论：； ； ； ； 若可逆，则，。二、填空题：
8、9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9、_。【分析】考查未定式.可以利用重要极限、罗必达法则及常用求此类极限的方法求出。【详解】法一:法二: 其中。因此法三：评注：求常用方法：设，则 10、微分方程满足条件的解为_。 【分析】考查一阶线性微分方程求特解的方法，可利用公式直接计算。 【详解】因为，所以。故所求特解为。11、曲线的弧长_。 【分析】直接利用直角坐标系下求弧长公式计算。 【详解】12、若函数，则_ 【分析】考查分段函数的反常积分。 【详解】。13、设平面区域由直线圆及轴所组成，则二重积分_ 【分析】考查初等函数二重积分的计算。由于积分域是圆的一部分，故选
9、择极坐标计算。 【详解】 14、二次型，则的正惯性指数为_ 【分析】考查二次型的有关知识。求正惯性指数，只要求出二次型矩阵的特征根，判断特征根的符号即可，或化为标准型来确定。 【详解】法一：二次型矩阵为，而所以矩阵特征值为，因此的正惯性指数为2。 法二：二次型通过配方法化为，从而正惯性指数为2.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知函数，设，试求的取值范围【分析】考查极限逆问题、未定式的极限、变上限函数求导。【详解】因为，所以； 要使则必有，所以；因为要使，必有，所以。综上可得。16、（本题满分1
10、1分）设函数由参数方程确定，求函数的极值和曲线的凹、凸区间及拐点。 【分析】考查参数方程确定函数的求导方法、极值和拐点的确定方法、凹凸区间的判别法。先求出函数的一阶、二阶导数，然后求函数驻点和二阶导数等于零的点，进而分区间判断各子区间上一阶、二阶导函数的符号，确定出函数的极值点与拐点。 【详解】，令，解得，由于，所以当时，即时，函数取极小值；，所以当时，即时，函数取极大值；令，解得，当时，； 当时，。又 当时， ，所以曲线的凹区间是；当时，所以曲线的凸区间是，且点是曲线的拐点。17、（本题满分9分）设其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导，且在处取得极值，求 【分析】考查多元抽象复合函数求二阶偏
11、导数。使用复合函数链式法则求出二阶混合偏导数。注意题设中的条件“函数可导，且在处取得极值”，对于可导函数而言，这意味着。 【详解】因为函数可导，且在处取得极值，所以，从而。18、（本题满分10分）设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾斜角，若，求的表达式。 【分析】本题考查导数的几何意义、微分方程的建立及可降阶微分方程求解等知识点。首先利用题目中包含的信息列出满足的微分方程，然后由题设条件“曲线与直线相切于原点”知，这是微分方程的初始条件。最后求满足初始条件的特解。 【详解】因为曲线与直线相切于原点，所以，因为为曲线在点处切线的倾斜角，所以，所以，即 法一：令，则方
12、程变为，变量分离得两边积分得，因为，所以故，即， 从而（由于，所以负值舍去）即，解得，由于，所以于是。 法二：令，则，于是有分离变量得，解得；因为，所以，从而，即分离变量得，解得 ， 所以因为，解得，于是。19.（本题满分10分）（）证明：对任意正整数，都有（）设，证明数列收敛 【分析】本题（）考查不等式的证明，通过变形后直接利用拉格朗日中值定理证明。（）利用单调有界数列必有极限的性质来证明。 【详解】（）因为令在区间上使用拉格朗日中值定理可得由于，所以，因此（）由（）可得，所以数列单调减少又因为，所以 所以，所以，即有下界。由单调有界准则可得数列收敛。20、（本题满分11分）一容器内侧是由图
13、中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线是由与连接而成的。（）容器的容积（）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：，重力加速度,水的密度为）【分析】本题考查旋转体求体积、变力做功。（）直接利用求旋转体体积公式计算即可；（）用微元法求解。【详解】（）法一： 法二：。（）（焦耳）。21、（本题满分11分）已知函数具有二阶连续偏导数，且其中。计算二重积分 【分析】本题考查抽象函数的二重积分。用二元函数偏导数与导数关系及分部积分法计算二重积分。 【详解】法一：。 法二： 22、（本题满分11分）设，不能由，线性表出。（）求（）将由线性表出 【分析】)考查已知向量组线性无关求参数,)考查一个向量组有另一个向量组线性表示的问题. 【详解】（I）由于，不能由，线性表出，所以线性相关(因为任意个维向量线性相关
