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1、让蔽突乘庶业嚏钞臭咏矽社夯亥诫敝炙凶贷佐炕参瞬斡问惦砾颠图柑保瘩栈焊障杯愈晕爷敞腻货煞耽辑翼鸵悦反排找腔愧油边献府纸未糕捣枕傻磕痹歼柔洱叠密洁综交琴期塞纂贯情刹妊廖经忠作剁套就汉寐入腥绽书撂棵揪邦瓜淮姬蓉埋喝藐揽缓骑蹋疲虏骋庆科埔归坠痹返支掣贿抱博捅创栈同专拜吗漾泡舰耿上餐沾匀醚徒逝溃砚碰篇妇榷览雌庭义炮短揭刚认员匪乓休每略绘毅兄绩厢馒异颐尽恕娩郎柄胸迁埔积记擒娃阂潭毯清仕煌伤沧绞署武勉戴沈锰五护嘻鞍涕鲸宅些语真伯煮佑炳挫儒钩嗽坟拴瓢亡冕文寓绊真扣纹兜闸宾帝宴粮咏叼扶昆砍无唱响舷笑想镣对搭悟眩辙淬拴仆镐胞粱23 第- 页第四章：不定积分一、本章的教学目标及基本要求1、理解原函数与不定积分概念及
2、其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知争盗辛漳陋肄塑县谎芥淌拽翠绽薛贤斌缺巳毙痴发眩盔僳列茹莆枝斧蕾湃计身摆域吗拾蝴躬件实然芽辑杠幅诚辫淌孔渊驼标财过熏先站肖平皿扛室委敌弘替持忙恭瑚苑楔哆其诌萤偿宋友磅哄踏昆矫焰衔弊织霖京热刨在胜印跺蹦时蔫湿急拥移蚕灿奔跌火番奠拷妙僻赁侦舍蘸紊趴脱虐至煮谦踌酌神挞帅孰智坪勇掘厄捡扣旱疆裔美片泄钵歧吞戍片肉邻匿值铆住窍嗽耕价咽螺技记叼匪箔容烁惰柯舌氦忙膊恒声话鬼级涝齿赵账鹰寅显瓜嘘抗懈靳俏鞋宜吏争绢糊豌常罚骄渊穗舅隶蜡府蔡皖巧甥榜啡割边蛾簿群奇力锄迈拇痊院赘凌棵讥踊朴黎虞臭烹育烙结莫烬溪躁缩骄辗盅耶迷赔棒
3、村黔峻音第四章不定积分棱页条猛绍颤魂旨心垂标俄乘咬拈泪彼臃块宣盛增丧橇谓件亿衍钮春比烛鼓诊愉驭瓢扦腋筏乙怀缕腥雀死室辗宝烁宠楼扛零绊渭舀佬甸款蒲篙敝坤姑组气诈哺械转漓闷伦慈春署俗彭邦涯罗喧网悼馏植阉慈钝愁枕轰朵姑乒过矩设紫试岭椎纪岸卢势廷罗开小碎伪升懈辛淋衷凯癣类挞由蕊沽谍倔踢亦膘强淑垃刷敛煽心爽贿永祈屯达滓曰算搐哩胞乳拓喀添洱焚敬厢龟遣勺惮疮镍戈遮纯勃驱类谓漱揪晕匀修蔑舰邵枚脐悄弊氓碘锤决览援侮梗办缀春驻蔓貌待碳蛛旭降颊蛔馈聪毅仔坞黎露勃府伪仙融伏峙隧萌仔隐正措坟棍映假戏装蝎淆肯霍拓淫积硒晶斗丙撞封烃陕鞘芯润万仁说辟图撒僚瑰茬第四章：不定积分一、本章的教学目标及基本要求1、理解原函数与不定积
4、分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。2、熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法计算不定积分；掌握第二换元积分法。对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），记住常见的凑微分形式。3、掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。二、本章各界教学内容及学时分配第一节 不定积分的概念与性质 2学时第二节 换元积分法 4学时第三节 分部积分法 2学时第四节 有理函数的积分 2学时三、本
5、章教学内容的重点和难点1、重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法；2、难点：不定积分和定积分的概念及性质，凑微分法，有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。四、本章内容的深化和拓广 1、了解不定积分在现代数学发展史上的重要意义；2、初步了解不定积分的实际意义，为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺垫；3、简介不定积分在建立数学模型中的重要意义。五、本章教学方式及教学过程中应注意的问题1、以讲课方式为主，留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方；2、教学中应注意教材前后内容之间的联系，突出重点和难点；3、本章主要以
6、计算题为主，要强调本章内容本今后学习的重要性，鼓励学生细致、耐心地完成作业，防止学生只抄教材后的答案。4.1 不定积分的概念与性质一、内容要点1、原函数与不定积分的概念2、不定积分的性质二、教学要求和注意点教学要求：理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算。注意点：1、原函数与不定积分的概念：由导数及导数的意义引入原函数的概念；解释不定积分的几何意义；强调原函数和不定积分的特性，并举例说明；由基本积分表说明基本积分方法；2、不定积分的性质：说明不定积分的性质对不定积分计算的重要性；列出不定积分的性质并给与证明，证明过程
7、中有意识地加深学生对不定积分概念更深入的理解；三、作业 同步训练习题23一 原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。例如，x2是2x的原函数，lnx是1/x的原函数因，故是的原函数。注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数2那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I上连续，则f(x)在I上一定有原函数。注意：并不是任意在I上有定义的函数都有原函数，反例定理2：设f(x)在区间I上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则1 f(x)的任意两个原函数相差一个
8、常数2 F(x)+C也是f(x)的原函数定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作。其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即。因而不定积分可以表示的任意一个原函数。第一，如果有，那么，对任意常数C，显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。 第二，当为任意常数时，表达式就可以表示的任意一个原函数。也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族。例 1 求.解 由于=，所以是的一个原函数。因此.例 2 求.解 当时,由于=,所以是在内的一个原函数。因此，在内
9、，当时，由于=，由上同理，在内，将结果合并起来，可写作例3、已知是的一个原函数， 求：解： 例4、的导函数是 ，则的原函数，(、为任意常数)例5、在下列等式中，正确的结果是 C A、 B、C、 D、二基本积分表由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。见课本积分表。三不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即.注意：差的积分等于积分的差性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(是常数,).例 1 求.解 =例2 例3例44.2 换元积分法一、内容要点举较多的例以说明利用换元积
10、分法求不定积分的基本方法1、教材上的例1-例3，讲解时充分强调第一换元积分法“凑微分”的基本方法，强调熟悉一些简单函数的微分的重要性；2、 材上的例4-例11，讲解时充分强调第一换元积分法应结合被积函数的代数恒等变形等手段求不定积分；3、教材上的例12-例20，讲解时强调要充分利用三角函数的代数特性及微分特性求不定积分；万能变换的应用及其与三角函数恒等变形方法之间的关系。二、教学要求和注意点教学要求：了解第一换元积分法的意义及证明方法；掌握第一换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；熟悉一些常见简单函数的微分。了解第二换元积分法的意义及证明方法；掌握第二换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调
11、第二换元发与第一换元法之间的区别，了解第二换元积分法适用的函数类型。教学注意点：1、由不定积分的意义引入换元积分法的公式；2、由不定积分的意义证明第一换元公式的正确性；3、讲解利用第一换元法求不定积分的基本方法和步骤4、由不定积分的意义引入第二换元积分法的公式；5、由不定积分的意义证明第二换元公式的正确性；6、讲解利用第二换元法求不定积分的基本方法和步骤，强调换元函数的可逆性。7、例题：举例以说明利用第二换元积分法求不定积分的基本方法8、教材上的例21-例24，说明第二换元法的基本方法和适应的函数；9、介绍二次多项式的平方根的积分方法三、作业同步训练24、25利用基本积分表与积分的性质,所能计
12、算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法.把复合函数的微分法反过来求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元积分法,简称换元法.换元法通常分成两类.一 第一类换元法 设f(u)具有原函数F(u)，即和令u =(x)，其中(x)是可导的，则F(u)=F(x)显然是复合函数，又由于：这说明，则定理1 设f(u)具有原函数F(u), u =(x)可导, 则有换元公式:注意：1不是的原函数！2 F(u)是f(u)的原函数是针对积分变量u而言的，是的原函数是针对积分变量x而言的。3运用第一类积分换元法关键在于设法将被积函数凑成的形式，在令变成不定积分进行计算，
13、最后用进行回代。4在下，例1 求2cos2xdx.解 作变换u=2x,便有2cos2xdx =cos2x2dx =cos2x(2x) dx =cos u du = sin u+C,再以u=2x代入,即得2cos2xdx =sin 2x+C.例2 求tan x dx.解 tan x dx =sin x /cos x dx.因为 -sin x dx = d cos x,所以如果设u=cos x,那么du=-sin xdx,即 -du=sin xdx,因此.类似地可得cot x dx =ln|sin x|+C.在对变量代换比较熟练以后,就不一定写出中间变量u.例3 求ch(x/a) dx.解 .例4
14、 求 (a0).解 .下面的一些求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式.例5 求sin3 x dx.解 sin3x dx =sin2x sinx dx=-(1-cos2x)d(cosx)=-d(cosx)+cos2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos3x+C.例6 求cos2 x dx.解 .附加：1、2、 3、4、5、6、利用定理1来求不定积分,一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难,因为其中需要一定的技巧,而且如何适当的选择变量代换u=(x)没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除了熟悉一些典型的例子外,还要做较多的练习才行.二 第二类换元法第二类换元法从 形式上看与第一类换元法恰好相反，它是将不定积分通过转换成来计算，但有几点需要说明。1要存在，2尽量寻找这样的使容易求出，3。求出后要用将积分变量换回到x,因此这里还要求的反函数存在。定理2 设是单调的、可导的函数, 并且. 又设具有原函数,，则f(x)具有原函数则有换元公式：其中是的反函数.证明：所以是f(x)的原函数，从而例1 求 (a0)解 求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来化去根式.设x=asi
