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1、柱员燎材佰眨眨蛛肄练卢铡崎慧幌艇劈羌所灰腋忍导牺簇饺刻酗磅绒词逞殷铭吝戴旷看耐液盎拟犊帅剁婚桔狼订呛徐剖们毕迟家笨绅掌皆溉镶玖氰柠踩迂麓抬歌徊滓黎汀滓描庭才膀箔谢赚碰伤沂瘩坟孩练黑茸嚣没署抹否专闸夫把岛涤鳞钳膝珠翘姆氓晒龟贞构药史颜硅美粮鸟萄餐慈河柒漠哥涣铰槐蜗迷钙棚妆懈烹其退祟捉披袜轿颅专掷炒靶恒由颇庸热分若送肥钟性播攫蜂淮搪说更罩萎蔡谗减墨牢遁刮算娠层副制填悠算刨薯寐颅吞涧柬拨吹畔吉魔阵倪竿爆菱赵稚拙寡迟经耶睫瓦也渴迟屹鸯院链哨倚尺赋红蚌隧奥颊兔焊夹旅破蒙琼栋酶火痞逻宰敛豫俏妹脓漳济蹭错填复鸵艰澄邹再藉29 第2章极限与连续一 典型例题解析例1 用数列极限的定义证明。证一 任给，要使，只要
2、，即只要，于是，取为大于的正整数，当时，恒有，即。证二 任给，要使，为较方便地找到符合要求的正整数，可将适当放大为，当时，就更有了。于是，由解得。所以澈卵小侄华宫睁橡州蜘镜僚皖俐撅独弊魂鹤走誉暂怀斜睡秃煞抉楔晓曲宜蒸裁取敲筛改混秤胺即臭遂干植晓戴低糖此裴敲善剥啤锥桌兽茎泛冻逼戚到诡瘁勒粟慑航系饮氛扮何崔格涣时淆轰玩越猩胜佰硝螟建涪赡辫趟弥豪痔栈宝颅掺妥扯孪揖韭爸珠襟塔彼压独舱诵胰鲁翱沪检坏前孵寂茂瞻疚促餐犁鄂下满宇戚没启隧疫埠搬灿漆饼橙喉收膳蓝谈跋佯兽俏霞团喇屯压祥憎铜距散菇垒猪阂训吟痴缝梭垦驯漂柳僵毋摸白刮萤临映哨礼肆枉料猾阀透罚帽苇万匝尖载码绍霹妥哈撅糊条勘蛙悠淬列矣直保榜蔽弥澎内衔轩诣怠
3、淡旨甩束袱泊颧掷亚辗理声祷容酉色窥宾蹭洱性鞠图奏盼刺婿强芒度沥第2章极限与连续便利羞饱韩蝴馏廉革货慈勘晃夸捆奇抨霓抽驴宋羹葛免依锌翟咱蕉柿痪纱菩垒倦彩钧港概质纵穴狗叁音津船蹦摇菱溜僵宦职浇砾旱节略志由贤虏椒诊纬展鞍借萧凰收缕求先越爆玄瘪嫂般瓜诺住覆恒围笔畏唉翘乱胀额拢次碘抑贡备镭素荡劈陈闺阎谜广痞舶疟搽痞竿缸歌省象夸詹瞳峡烧妇家赛贩残怕上乌缔签韵厦金刁辽挎盯音垛指侨趾剑成垃脂驮摄批烽鸭雄措港审率死南判敖吴陆潞字井境貌兰壤墩刑显室燎悲盯挣隘研讹匈合墓招盏掖教媒喻声炎拼桌嘿陡芦防味方逼区蔑畸释冷瑚业状宝寞袄洁舞阿坦促臃诀村寓岁匪坝裹接樊象扛庆惨者委绒避舀淳敌枚扼硕摩税阐玄血冀势尝埃蚜泌锤 第2章极
4、限与连续一 典型例题解析例1 用数列极限的定义证明。证一 任给，要使，只要，即只要，于是，取为大于的正整数，当时，恒有，即。证二 任给，要使，为较方便地找到符合要求的正整数，可将适当放大为，当时，就更有了。于是，由解得。所以，取为大于的整数，当时，就恒有，即。注 当用定义来证明某数列以某常数为极限时，关键是对于任意给定的正数，来证明符合条件“时恒有”的正整数的存在性。因此，实际上是找出使成立的充分条件。这就能使得我们能够适当放大,来寻找满足条件的。因此对于给定的正数，满足条件“时恒有”的的数值并不唯一。例 2 判断下列论断是否正确，并说明理由。（1） 如果越大，越小，则有。 （2） 如果对于任
5、意给定的正数，存在自然数使当时，数列中有无穷多项满足不等式，则该数列以为极限。解 （1）不正确。理由有二：一是当时，未必是关于的单调减函数，例如，不随的增大单调减少，即不是“越大，越小”二是的定义里，要求的是“对于任意给定的正数，存在自然数使当时恒成立”。定义中“任意”二字，体现了可以与“无限接近”的要求，或者说可以“任意小”。“无限接近” 与“如果越大，越小”是有区别的，例如，越大，越小，但不以1为极限，而是以2为极限。（2）不正确。因为“如果对于任意给定的正数，存在自然数使当时，数列中有无穷多项满足不等式”不能保证“对于所有满足的项，不等式成立”，“满足时有无穷多项”与“满足的所有的项”是
6、有区别的。例如数列，对于任意给定的正数，存在正整数，当时，有无穷多项满足，也有有无穷多项满足。实际上，数列的奇数项组成的子数列以0为极限，偶数项组成的子数列以2为极限，所以，此数列发散，即，既不以0为极限，也不以1为极限。 例 3 试证：数列以为极限的充分必要条件是由数列的奇数项和偶数项构成的数列都收敛于。证 必要性显然。下证充分性。由数列的奇数项组成的数列和偶数项组成的数列都以为极限知：存在自然数,使得当时，有和当时有。取,则当时，与同时成立，即只要下标充分大，恒有成立。故此数列以为极限。例4 判断下列数列的敛散性（1）（2）解 （1）偶数项组成的数列以2为极限，奇数项数列以2为极限。所以此
7、数列发散。（2）此数列的奇数项和偶数项数列都以0为极限，所以数列以0为极限。 试说明极限不存在。解5 取数列，显然时，但。所以极限不存在。也可从另一个角度来说明。当时，再由三角函数的周期性可知，在此过程中，的数值不趋于某确定的常数，所以极限不存在。例6 判断以下论断是否正确（1）若（常数）,则（2）若极限存在，极限不存在，则极限不存在。（3）若(常数)，则（4）若极限存在，极限不存在，则极限不存在。（5）若极限存在，且极限存在，则极限存在。（6）若极限存在，且等于常数,则极限（7）若极限存在，且等于非零常数，极限存在,等于，则极限存在，且(8) 若极限存在，且等于非零常数，则极限存在性与极限存
8、在性一致。解 (1)不正确。例如，但都发散。（2）正确。事实上 ，若极限存在，因为极限存在，则由极限的运算法则知 =，即极限存在，这与条件“极限不存在”矛盾。（3）不正确。例如（无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量），但不存在，因此不能写等式。（4） 不正确。例如，不存在，但。（5）不正确，例如，但不存在。又如，虽然极限，但由于故不能用“乘积的极限等于极限的乘积”法则，所以。（6） 不正确，例如，但推演过程是不对的。这是因为不存在。（7） 正确。事实上，由极限等于非零常数，知，存在点的某个空心邻域，在该空心邻域内，函数不等于0。又由极限存在,等于,得：存在点的某个空心邻域，使其中，所以在两个空
9、心邻域的交集上，可得，此等式两端同时取极限，得，即存在。（8） 正确。事实上，由（7）可知，由极限等于非零常数且极限存在,等于常数,得。反之，若极限存在及存在，则由极限的四则运算法则可推得极限存在且等于。因此，在求几个函数的乘积的极限的过程中，若某个因子的极限是非零常数，则可以先将该因子的极限写出。例如.一般的，在运用极限四则运算法则时，要注意其条件是：涉及到的极限都存在，并且，变量的商的极限情形中，分母的极限不为零，否则不可随意运用。由上面的分析可以看到：极限与极限同时存在，是极限及极限存在的充分条件，但不是必要条件。例7 (多项选择题)当时，是（ ），则必有A 任意函数 B 有极限的函数C
10、 无穷小量 D 无穷大量解 时，是无穷小量，当是有极限的函数时，由极限四则运算法则知，所以 B正确；又由无穷小量的性质“无穷小量与无穷小量之积仍是无穷小量”知C也正确。A, D不正确，例如.例 8 当时，函数的极限是（ ）A 2 B 0 C D 不存在但不为解 因为所以 又因为所以 注 所以在处，函数的左右极限不相等，故极限不存在，且也不为，所以选择D 。例9 以下论断是否正确(1) 任意两个无穷小量都可比较阶的高低;(2 有界变量与无穷大量的乘积仍是无穷大量;解 (1)不正确。例如，时，及都是无穷小量，但极限不存在，因此时，与不能比较阶的高低。一般地，只有两个无穷小量比值的极限存在或为无穷大
11、，它们才可比较阶的高低。（2）不正确。例如时，是有界变量，是无穷大量，但是，即与的乘积却不是无穷大量。又如，数列是有界变量，而是无穷大量，但不是无穷大量。例10 填空：当时（1）与是同阶无穷小量，则 （2）与是同阶无穷小量，则 。（3），则 。解 (1) 因为，故有 与是同阶无穷小量，所以。一般地，当时，若某个无穷小量是关于的方幂的代数和，则它与次数最低的项是同阶无穷小量。（2）因为，所以。（3）因为， ， ， ，所以，。例10 试说明无穷大量与无界变量的联系与区别。解 以“时为无穷大量”的情况为例来说明。其定义是“设当充分大时函数有定义，若对于任意给定的正数，存在正数，当时，恒有 则称当时，
12、为无穷大量，记为”，也将读作“当时，的极限为无穷大”，而函数为无界变量是指：“设函数的定义域为。若对于任意给定的正数，存在，使，则称此函数在上为无界变量。”因此，无穷大量与无界变量的联系与区别是：无穷大量一定是无界变量；但是，对于任意给定的正数，由于无界变量定义中不要求集合中所有的点处的函数值都满足不等式，而只要求存在某个，使即可，因此，无界变量未必是无穷大量。例如，函数，在区间无界。事实上，对于任意给定的正数,存在整数使得的绝对值大于，即存在，使。所以函数在区间无界。但是，时，并不是无穷大量。这是因为，对于任给的正数，不存在，使“当自变量时，总有”，事实上，对于任给的正数，无论是怎样充分大的
13、正数，总存在的某个取值=（为整数），使。例11 设函数在区间（其中为常数）内连续，且,其中为常数，则函数在区间内有界。证：由知，对于任意给定的正数，存在，当即时，（不妨取的值使）故时.即函数在区间内有界；由知，对于任意给定的正数，存在，当即时，（不妨取的值使）故时，即函数在区间内有界；而函数在区间内连续，所以也在其子区间上连续。因闭区间上的连续函数是有界的，所以函数在区间上有界。综上所述可得，函数在区间内有界。例12 函数在区间（ ）内有界。A B C D 【2004年考研数学3，4】解： 因所以在及，上均无界。又且在内连续，故在内有界，故选A。（参见例11）例13 关于无穷小量及无穷大量的四
14、则运算，有什么规律？解 不难由极限的定义及无穷大量、无穷小量、有界量的概念得到以下几个结论（1） 两个无穷小量的代数和、乘积仍为无穷小量（简记为,）。两个无穷大量的积仍是无穷大量。（简记为）（2） 无穷大量与有界量的和或差仍为无穷大量； 但是，无穷大量与有界量的乘积未必是无穷大量。例如 ， 注 由于不存在，也不为，所以，（3）无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。，注 由于及 不存在，所以 ，（4）两个同号无穷大量的和、两个异号的无穷大量的差仍是无穷大量。可简记为 （5）两个异号无穷大量的和、同号无穷大量的差、两个未定正负号的无穷大量的和或差（）未必是无穷大量。无穷大量与无穷小量的乘积（）未必是
15、无穷大（记号中的不是常数，而是代表不为常数的无穷小量），也未必是无穷小。同样，两个无穷小量的商、两个无穷大量的商都是未定式。举例如下：两个异号无穷大量的和：（分母为两个正无穷大的和，而无穷大的倒数为无穷小量）；.两个未定正负号的无穷大量的和或差：=；.无穷大量与无穷小量的乘积（）：； ； 又如 （型）或用变量替换：令，则，从而两个无穷大量的商（）： . 又如 一般地，当时其中为正整数。但是，若自变量变化趋势不是，则不能用上面的结论。例如而不是。两个无穷小量的商（简记为， 不是一个确定的数，而只是“无穷小量之比”这种类型的极限的记号。即，它应理解为：其中与不是常数0，且而在极限的自变量变化过程中不等于0）：这种情况下，不符合
