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1、专题四：几何证明题解题技巧中点辅助线专题例2:已知：如图，在 ABC中，点E、F分别是AB、AC上的点，且EF/BC, BM是线段CF的第一部分：与中点有关的概念1、三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线2、三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一 (底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)3、三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.4、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.5、中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.6、直角三角形斜边中线： 直角三角形斜边中线等于斜
2、边一半7、斜边中线判定： 若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形第二部分：与中点有关的辅助线垂直平分线，垂足为 M。N是线段BM上一点，且 NC=EF。4 一一一1(1)若/BNC =150。，求证：FM = EF 的长；2(2)若 BN=BE ,求证：/MNC = *MBC第一节：等腰底中垂分其他位置的也要能看出解题方法技巧1 .等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2 .有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在|_ABC中，AB=AC取BC中点D,连接AD,则A
3、D是/BAC的平分线, 又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。【中考链接】1.已知等腰Rt ABC中，/ ACB=90 , AC = BC ,点G在BC上，连接AG ,过C作CF，AG ,垂足为点E ,过点B作BF，CF于点F ,点D是AB的中点, 连接DE、DF .(1)若/ CAG=30 , EG=1,求 BG 的长;(2)求证：/ AED=/ DFE例1 :已知，如图，在矩形 ABCM, E为CB延长线上一点且 AC=CE,F为AE的中点。求证：BF _ FD .2.如图，ABC43, Z ABC45 ,过点 C作 CDLAB于点 E,且点E为CD的中点，连接
4、MD过点D作NDL吊廿点 (1 )若BC=2&,求 BDE的周长；(2)求证：NE- ME=CM过点B作BMLAC于点M BMK CDT点 D, DN交 BMR1 点 N.第二节遇中线可倍长解题方法技巧1.将三角形的中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法如图，AD为ABC的中线，如延长 AD至E,使DE=AD连接BE,则ADC EDB ,再连接CE 则四边形ABEB平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。一3.如图，在正方形 ABCD中，点P是AB的中点，连接线于点E ,连接AE ,过点A作AF _L AE交DP于点F(1)若AE =2,求EF的长；(2)求证：PF=EP+E
5、B。DP ,过点B作BE _L DP交DP的延长 ，连接BF。24题图2 .将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形如图，E为ABC中线AD上一点，如延长AD至F使DF=DE连接BF,CF,则四边形BFC既平行四 边形，可用平行四边形的有关知识证题。3 .可以在中线上截取线段与中线上的某一部分线段相等4 .有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形如图，。为AB中点，若延长CO至D使OD=CCU|_ACO三BDO(LCOB=_J DOA),四边形ADBC 为平行四边形。【中考链接】1.(巴蜀期末)在等边 ABC中，点E在直线AC上，连接BE,点D在直
6、线BC上，且 CE=CD连接EQ AD,点F是BE的中点，连接 FA FD.(1)如图1,当点E在AC上，点D在BC的延长线上，若 CD=Z BC=3,求4BEC的面积；(2)如图1,当点E在AC上，点D在BC的延长线上，且 AE=CE寸，求证：AD=2AF2.如图,在菱形ABC邛，点E、F分别是BC CD上一点,连接AE、AF、DE EF,且/ DAE1 BAF.(1)求证:CE=CF;(2)若/ ABC=120,点G是线段 AF的中点，连接DG,EG求证:DG,GE.第三节两中点 中位线解题方法技巧在进行证明时，有中点可以构造中位线，利用三角形，梯形中位线定理来证题。通常有以下几 种情况时
7、作中位线。1 .有两个(或两个以上)中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线如图，D,E,F分别是L ABC的三边中点，连接 DE,EF,FD,利用三角形中位线性质得线段之间大小 关系与平行关系，从而为解决问题提供帮助。2 .有一边中点，并且已知或求证中涉及线段的倍分关系时，常过中点作另一边的平行线，构造 三角形的中位线。3、已知，在口 ABC邛，连接对角线 AC,/CAD的平分线 AF交CD于点F, / ACD的平分线 CG交AD于 点 G,AF、CG于点。，点 E 为 BC上一点，且/ BAE=/ GCD.如图1,若AAC皿等边三角形，OC=2,求DABCM面积；(2)如图2,若A AC
8、皿等腰直角三角形，/ CAD=90,求证:CE+2OF=AC【中考链接】1.如图，RtiABC中，/BAC =90 ,点E是BC的中点，AD平分/ BAC ,BD_L AD于点D ,连接DE。(1)求证：/ADE=2BDE;(2)过点C作CG_L AD于点G ,交AB于点F , 求证：de=bf。2BA2.已知：如图，在 ABC中，AB=AC延长BC到D,使BD=2BC连接 AR过C作C已BD交AD于点E,连接BE交AC于点O.(1)求证：/ CADW ABE.(2)求证：OA=OC4.如图，在 AABC和AADE中，AB=AC AD=AE / BAC吆 EAD=180, AAB5动，A AD
9、E绕点 A 旋转,连接BE、cq F为BE的中点，连接AR（1）如图，当/ BAE=90时，求证：CD=2AF（2）当/ BAEW90时，（1）的结论是否成立？请结合图说明理由。接BE DG点H为BE的中点，连接AH（1）当 AG2, ah=3 时，求 tan/JLDG 的值;若把正方形AEF逊点A顺时针旋转一 定角度，使点 G在正方形 ABCM内部（如 图2）,求证：DG2AH图t3.已知正方形ABC前正方形AEFG如图1摆放，即点E、A D三点共线，点G A B三点共线.连第四节 斜边中 是一半解题方法技巧直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线 如
10、图，在Rt|_ABC中，D为斜边AB的中点，连接CQ则得CD=AD=BtM而构造出等腰三角形。例：如图，在ABC中，BE,CF分别为边AC,AB的高，D为BC的中点，M为EF的中点。求证：DM EF第五节 平行线加中点8字全等形来显【中考链接】 如图 入1 C, /口E = 9 0,G A(= B( /切=2UO是BD的中点，F例：已知：如图，在 L ABC中，/BAC = 90口，AB = AC,AD = CD,AF_L BD 于 E交 BC于 F.是AB的中点 。如图1,当F在CE上时,连接FG与CG,若CT ；二求线段FG的长度；(2)如图2,当CE经过点G时，求证：解题方法技巧如果图形
11、中平行线和中点，可以构造 8字全等形来解决问题CG = EF + EG.求证：BF=2FC.C作AB的垂线交AB于点E,连接ME.练习：如图，在 DABCM，点M为边AD的中点，过点 (1)若 AM=2AE=4 / BCE=30，求 DABCD勺面积； (2)若 BC=2AB 求证：/ EMD=3 MEA.2.如图，已知正方形 ABCD,点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接 EF ,若BE=DF ,点P是EF的中点.(1)求证：DP平分/ADC;(2)若/ CEF=75, CF=1 + J3,求 4AEF 的面积.【综合练习】1、如图所示，已知 ABD和4ACE都是直角三角形，以 A
12、BC的两边AR AC为腰分别向外作等腰，一 1 一4、在AABC中，ZACB =90 口，AC =BC ,以BC为底作等腰直角 证：AE_LEB 且 AE = BE . BCD, E是CD的中点，求Rt&ABD 和等腰 RtAAce, / BAD4 CAE=90 .连接 DE, M 是 BC 的中 点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.2、如图1,在等腰三角形 ABC中，AB=AC在底边BC上取一点D,在边 连接DE,在/ ABD的内部作/ ABF=2Z EDC交AD点F.(1)求证： ABF是等腰三角形；(2)如图2, BF的延长交 AC于点G.若/ DAC=/ CBG延长AC至点M,使
13、GM=AB连接BM点N 是BG的中点，连接 AN试判断线段 AZ BM之间 的数量关系，并证明你的结论.AC上取一点E,使AE=AD5、已知：在 ABC中，BO AC,动点D绕 ABC的顶点A逆时针旋转，且 AD=BC连结DC过ABDC的中点E、F作直线，直线 EF与直线AR BC分别相交于点 M N.(1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时，点 N恰好与点F重合，取AC的中点H,连结HE图1HF,求证：/ AMFW BNE(2)当点D旋转到图2中的位置时，/AM*/ BNE 有何数量关系？请证明.的结论.图1(1)求证 MB=MC3、如图1,正方形 ABCD43, AC是对角线，等腰RtCMNK / CMN=90 , CM=MN点M在CD边上, 连接AN,点E是AN的中点，连接BE.(1)若 CM=2 AB=6,求 AE 的值；(2)求证：2BE=AC+CN(3)当等腰 RtCMN勺点M落在正方形 ABCD勺BC 边上，如图2,连接AN,点E是AN的中点，连接BE, 延长NM交AC于点F.请探究线段BE、AG CN的数量 关系，并证明你的结论.6、如图所示，已知 ABD和4ACE都是直角三角形，且/ ABDW ACE=90 ,连接DE设M为DE的 中占(2)设/ BAD=/ CAE固定RtAABtD让RtACEB至图示位置，此时 MB=MC!否成立？请证明你
