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1、让学生学会发现、学会研究获奖科研报告论文 研究性学习不但是中小学课程改革的一个十分重要的话题，而且也是培养学生素质、提高创新能力的一条行之有效的途径，更是提高(通常意义下的)教学质量的一个亮点.然而入门难，难在课堂教学中到底如何具体实施和把握?这就是摆在我们面前的一个亟待去思考、探索、实践的课题. 其实，研究性学习从本质上讲，就是把教学的主动权交给学生，让学生在积极、主动的学习环境中，全神贯注、富有兴趣地去实践、理解、应用、探索和创新.其意义在于使学生经历探索过程，让学生学会发现、学会研究.教师应当为学生创设探索性的情境，以激发学生探究的欲望，同时还要提供有结构的材料，这些材料是学生实践活动的
2、对象，是引起和形成学生探究发现的工具和知识的载体.本文以数学新教材圆锥曲线(椭圆三定义、六方程)的教学研究性学习活动为例，谈谈笔者的认识和实践，并就教于同行. 教学过程 1.精心设计实验，创设创新情境 让学生拿出课前准备好的一张纸板、一段细绳和两枚图钉，按课本要求画椭圆.先用多媒体演示画法，再让学生自己动手，使学生尝到发现的喜悦.固定绳的长为2a，两图钉间的距离为2c，通过改变图钉间的距离，学生实践得出结论：当c=0时是圆；当2a2c时是椭圆；当ca时椭圆越来越扁平；当2a=2c时是一线段；2a<2c时，轨迹不存在.通过作图实验学生不难自己归纳出椭圆的定义. 在学生对椭圆概念有一个比较清
3、晰认识的基础上，进一步引导学生研究椭圆的轨迹方程. 2.还给学生思考空间，指导学生探索研究 T(教师，下同)：下面分小组进行讨论研究，看哪一组先能推导出椭圆的轨迹方程，组际之间可以交流和互助，也可邀请老师一起讨论、研究，最好不(但也可以)参考、借助课本的推导，看那一组能(希望有)有所发现、有所创新.到下节课请各组推荐出代表讲讲你们的研究和发现，即由代表提交并宣读各自的研究报告(可用实物投影仪将小组的成果进行放映、展示).下面就请各小组开始各自研究讨论. S1(第三小组)：我们参考了课本，具体是(用实物投影仪展示结果)： 设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和
4、F2的距离的和等于正常数2a，则F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0). 椭圆就是集合P=M|MF1|+|MF2|=2a.|MF1|=(x+c)2+y2,|MF2|=(x-c)2+y2,得方程 (x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a. 将这个方程移项，两边平方，得 a2-cx=a(x-c)2+y2. 两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2. 整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). 由椭圆定义可知，2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0.设a2-c2=b2(b>0)，整理，得 x2a2+y2
5、b2=1(a>b>0). T：S1参考了课本并获得了上述结果，是值得肯定的.现在我们来具体分析上述过程中每个环节(运算)的作用与意义： (1)首先受数学美的驱使，使建立的坐标系、所设的点坐标都对称和谐；(2)在推导中首先得到的式事实上已是椭圆方程，但由于它不符合数学简洁美的特性，因此需要简化：因左边是两个根号之和，于是就可移项平方得到式，整理后还有一个根号，于是再平方，进一步简化得到式；式虽比式简单，但还是没有达到数学美的最高境界，故用变量代换(补美思想)：设a2-c2=b2(b>0)得到式(通过教师的讲解，让学生进一步明确了每一步运算的意义、作用和所以要这样做的原因)，我们
6、称式为： S：椭圆的标准方程. T：对!我们又为何要称式为椭圆的标准方程? S：(学生答出简洁美、对称美等许多优点，略) T：讲得好!那么式与圆的标准方程比较，又有什么不足呢? S：(学生比较看出)：式无法揭示出椭圆上一点到两定点的距离之和等于2a这一本质属性. T：对!那么，在上述推导过程中，你看哪一步有这一特征呢? S：(学生很快得出)：相比之下，式正好有这一优点. T：(教师趁势追问)：讲得好!现在大家再看从式到式的推导过程中又是在哪里失去了这一优点?至此学生便兴味盎然地开始重新审视原推导过程，课堂气氛也活跃起来，他们注意到：如果没有对式的移项、两边平方，就不能化简、整理得到式；而到了式
7、，由于再次平方，虽化简得到式，但却失去了这一优点.这样，大家便不约而同地把注意力集中到了式. 这时，老师作为一个参与者与学生一起讨论，并“恰当好处”地启发、引导学生. T(教师若有所思地发声自问)：那到了式，要是不再平方，而用其他办法变形又会如何呢?这个办法又是什么呢?请哪一组来讲讲? S2(第二小组)：两边同除以a即可. T：对!(并顺手写出)：a-cax=(x-c)2+y2. T：式的右边有什么特征吗? S2：式的右边有明显的几何意义，即动点M(x,y)到焦点F2(c,0)的距离. T：那么式的左边也有明显的几何意义吗? S2：没有. T：为什么? S2：在x前面有系数ca. T：如何处理
8、，才能使它也有明显的几何意义呢? S2：把系数ca提出，并(考虑到距离)加绝对值. T：对!提出系数ca，得ca(a2c-x)=(x-c)2+y2 ，并整理为(x-c)2+y2|a2c-x|=ca. 这是一个全新而又具有明显几何意义的关系式，也是一个不同于课本推导的新方法、新发现(为让学生体验发现和成功的喜悦，于是又自问)： T：式又有怎样的几何意义呢? S：(学生们兴高采烈，能基本完整地讲出)：这是椭圆上的一个动点M(x,y)到焦点F(c,0)和定直线l:x=a2c的距离之比等于常数ca(a>c>0). 到了这里学生兴奋极了，他们既感到满足，又感到总欠完善，而又有点不达意之感，于
9、是老师又问：那么，满足式的轨迹是椭圆吗? 这时整个课堂的气氛可活跃了，学生有的说是，有的说不是，也有的说不一定是，即使是也要证明.教师对后一种同学严谨的思维方式、习惯和前一种凭直观得到结果的方法都从不同角度给以肯定，并带着问题与学生一起去探索.这时再一起去看例子，并引入椭圆的第二定义，可谓是水到渠成，顺水推舟了，这正是教材例子所要达到的教学目的.我们认为，这样处理教材、设计教学，既加深了学生对曲线方程的纯粹性和完备 性的理解，弥补了教材的不足，又兼顾了例子的目的要求，还让学生手脑并用，使学生经历了发现，体验了成功. 此时，学生心情愉悦，一种成功感油然而生，并产生船到码头车到站可以停一停了的感觉
10、.这时老师是一个参与者，但更是一个导演，为引人入胜，故又趁热打铁，再次引导. T：S2(第二小组)参考了教材的推导但又不拘泥于教材，对原推导过程中由到，变成由到，并由此得到一个全新的，大胆进行了创新，并与大家一起得到椭圆的第二定义这么一个好定义，这很好!现在我们一起来看看，在这一过程中是否还有什么可以挖掘的呢?谁能说说你的奇思妙想吗? S：刚才得到椭圆的第二定义，是否还可以再挖掘、得到椭圆的第三定义呢? T：这个想法(猜想)很好，有道理!应该试试.哪一小组能证实这一猜想? S3(第一小组)：原推导过程中，到了式：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，再设a2-c2=b2(b>
11、0)，整理，得x2a2+y2b2=1(a>b>0) 如果不是设a2-c2=b2，进行整理，而是两边同除以a2-c2，则得到：a2y2a2-c2=a2-x2，即a2y2x2-a2=c2-a2. 两边再同除以a2,得y2x2-a2=e2-1.即 yx-ayx+a=e2-1(-1 S：这时大家不约而同地说：式的几何意义为：一个动点M(x,y)到两定点(-a,0)、(a,0)的斜率的积等于常数e2-1(-1 椭圆的第三定义：平面内一个动点M(x,y)到两定点A1(-a,0)、A2(a,0)的 斜率的积等于常数e2-1(-1 T：很好!大家通过自己的努力，得到了一个崭新的椭圆的第三定义.真有
12、意思!如果我们用它来解决教材P96第4题(新教材就补充此题)，那将十分简捷： ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6，0)、(6，0)，边AC、BC所在直线的斜率乘积等于-16，求顶点C的轨迹方程. 解：依上述定义可知顶点C的轨迹方程是椭圆，且a=6.e2-1=-b 2a2=-49,b2=16.故所求顶点C的方程为x262+y242=1(y0). 为了把这次研究性学习引向纵深，让学生在崭新的研究性学习中学到更多的与现实教学相关的内容，力争在提高综合运用能力的同时提高创新能力，以让学生在扎扎实实的应试教育中，实实在在地提高创新能力.因此，及时地抓住学生探索、研究的契机，在研究了椭圆的三个定义的
13、基础上，进一步引导学生研究、发现椭圆(双曲线)方程的六种形式，让学生在新的层面上学会发现、学会研究. 3.抓住学生探索、研究的契机，让学生在新的层面上学会发现、学会研究 T：前面我们一起研究了椭圆的三个定义，通过对原椭圆方程推导过程的控制、探索、研究，发现了许多宝贵的数学成果椭圆的第二、三定义，使大家经历了发现，体验成功，然而，我们发现在方程的形式上我们未能进行探索. 例如，我们通过：(x-c)2+y2|a2c-x|=ca，研究了椭圆的第二定义，但却仍延用了原椭圆的标准方程，现在，我们是否能在方程的形式上进行研究，使它能像直线方程一样也具有多样性，并争取有新的突破呢?换句话说就是方程中是否能不
14、用原定义中表示长、短轴的参数a、b来表示，而用新定义(第二定义)中的准线参数m与离心率e来表示? 有了这一铺垫，大家就立即着手进行解决. S：设准线为x=m(m>0)，离心率为e，则m=a2c,e=ca,c=e2m,由式得：(x-e2m)2+y2|x-m|=e, 化简得：(1-e2)x2+y2=e2m+2(1-e2),e1，两边同除以e2(1-e2)， 于是得： x2e2+y2e2(1-e2)=m2. T：对!这就是焦点在x轴上的方程，我们称它为椭圆的第二方程(统一式)，同理可得焦点在y轴上的椭圆的方程：y2e2+x2e2(1-e2)=m2. 这两个方程与椭圆的标准方程一样对称、优美，便于记忆.凡与离心率、准线相关的问题用它来解决十分简捷. T：那么第三定义下的方程又怎样呢?(对此学生更是兴趣盎然，并很快得出结果)： S：由式：yx+ayx-a=e2-1(-1 S：有点象，但这里没有y0，即y2-y20=(e2-1)(x2-x20)能成立吗? T：问得好!这里，大家在比较中大家看出差异，进行了猜想：B11囊话闶轿：y2-y20=(e2-1)(x2-x20).B12 T：那么，你能证明这个猜想成立吗? S：能，对原推导的式：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)两边同除以a2得：y2=(e2-1)x2+b2.B13
