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1、空间几何体的表面积和体积最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 .I知快衍化依验叵顾教乜交灾甚砒知识梳理1 .多面体的表（侧）面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面 积是侧面积与底面面积之和.2 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.空间几何体的表面积与体积公式_名称几何体_表卸积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+ 2S底V= Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+ S底V=，S_瓦h台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+ S上+ S下1rV= （ S 上 + S 下 +St Sr） h3球S= 4 兀 RV=4x3 3微点提醒1 .
2、正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R,（1）若球为正方体的外接球，则 2R=、/3a；若球为正方体的内切球，则2R= a；(3)若球与正方体的各棱相切，则 2R= 42a.2 .长方体的共顶点的三条棱长分别为a, b, c,外接球的半径为R,则2R=/a2+b2+ c2.3 .正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 ： 1.基础自测疑谋辨析工1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球。的半径为R,其内接正方体的边长为a,则
3、R=当&()解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案 (1) X (2) X (3) V (4) V 教材衍化、2 .(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12冗cm2,其侧面展开图是一 个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD/l cm2解析 由题意，得 S表=冗r2+九rl =冗产+兀r 2r=3兀产=12冗，解得r2 = 4,所以 r =2(cm).答案 B3 .(必修2P27例4改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆 柱的体积比V球：V柱为()D.1 ： 3A.1 ： 2B
4、.2 ： 3C.3 : 4、A ,、球 37tb 2解析设球的半径为R，则=ER= 3.答案 B考题体验4 . （2016 全国II卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.12 几32B.不冗3C.8九D.4九解析设正方体的棱长为a,则a3 = 8,解得a = 2.设球的半径为 R,则2R=木a,即R=4所以球的表面积S= 4几答案 AR= 12 7t.5. （2017 全国田卷）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（A.九B 37t冗C.万冗D2解析如图画出圆柱的轴截面ABCD O为球心.球半径R= OA= 1 ,球心到
5、底面圆-1的距离为。阵2.底面圆半径r= OA OMl= 2,故圆柱体积 V=兀 r2 h=兀3五 4 .答案 B6.（2018 浙江卷改编）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的 体积（单位：cm3）为.正视图储视图擀视图解析由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几1何体的体积 V= 5X（1+2） X 2X2= 6.答案6I考点聚焦突破H亶III亶圄IMBI券褰腾豳家法考点一空间几何体的表面积【例1】（1）（2019 南昌模拟）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其 正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是 （）A.4 小B.4 木C.4（T5+1）D.
6、8（2018 洛阳模拟）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A.B.9九时视图C.D.10TT解析（1）因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱 锥，如图.由题意知底面正方形的边长为 2,正四棱锥的高为2,则正四棱锥的斜高P22+12 =乖.1 一 一所以该四梭车t的侧面积 S= 4X X 2X 5 = 445.故选B.（2）由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一个球组合而成圆柱的底面半径为1,高为3,球的半径为1, 2211212所以几何体的表面积为兀XI +2tt x 1X3+4TT xi X4 + 2 7txi+2兀XI =9九.故选B.答案（1）B（2）B规
7、律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：（1）关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.（2）还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练1】（1）（2019 西安模拟）如图，网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20 兀B.24 兀C.28 兀D.32 九（2018 烟台二模）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为（）A.3 兀 + 4 成2C.32 + 2V2 2僻视
8、图B.3 兀 + 2 22D.3 + 2 ,2+2解析（1）由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体， S圆锥侧=兀x 3X 、32 + 42 = 15 几，S 圆柱侧=2兀乂1乂2=4几,S 圆锥底=冗X 3 = 9九.故几何体的表面积 S= 15兀+ 4兀+ 9兀=28几.（2）由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底 面面积S底=兀XI 2 （，2） 2=兀一 2.几何体表面积S= 2（2X啦）+2（2冗X 1X2）+S底=4g+ 2兀+九一2 = 3几+ 4/一2.答案（1）C（2）A考点二空间几何体的体积 一多维探究角度1以三视图为背景的几何体的体
9、积【例2-1 （2019 河北衡水中学调研）某几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积为（）俯视图A.6B.4c.22解析 由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱（如图），且挖去的三棱柱的高为1,底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为 2.故几何体体积V= 23 2x2X2X1 =答案 A角度2简单几何体的体积【例2 2】（一题多解）（20 18 天津卷）如图，已知正方体 ABCD- ABGD的棱长 为1,则四棱锥AiBBDD的体积为.AAB解析 法一 连接 AC交BD于点E,则 AE，BD, AE，BB,则 A1E，平面BBDD,所以AE为四棱锥A1BBDD的高，且A
10、E= 矩形BBDQ的长和宽分别为啦，1,故 VA BBDD= 1X1X 也X乎=1. 323法二 连接BD,则四棱锥 A BBDD分成两个三棱锥 B A1DD与B ABD, VA1BB1DID= VB A1 DD + VB A1B1DI =二 X 二 X1X1X1+1X1X1X1X1= 1.3 23 23角度3不规则几何体的体积【例23】 如图，在多面体 ABCDEFK已知ABC皿边长为1的正方形，且ADE zBCF均为正三角形，EF/ AB, EF= 2,则该多面体的体积为（）解析如图,分别过点A,EF4C.33 D.2B作EF的垂线，垂足分别为G, H,连接 DG CH像丁A H容易求得E
11、GHF=-AG= G* BH= HC=二,2，取AD的中点O,连接GQGO=学12.Sa ag户 Sabha 2 X X 1多面体的体积 V= V三棱锥EAD畀V三棱锥F BCHTp V 三棱柱AGD- BH户 2V 三棱锥EADG|12 122V 三棱柱 AGD- BHk 3 X 4二X2X2+/X1 = 3.故选 A.答案 A规律方法 1.（直接法）规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可 若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几 何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解 .2 .（割补法）不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手
12、段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算 经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台 体还原为锥体.3 .（等积法）三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.（1）求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；（2）利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥【训练2】（1）如图所示，正三棱柱 ABC-ABG的底面边长为2,侧棱长为43,D为BC中点，则三棱锥A-BDC的体积为（）A.33B.2坊C.1D.13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16B. 4 九3C.8tt 416A.8t
13、t -38D.4tt + -3解析（1）如题图，在正 ABC中，D为BC中点，则有A4当AB=品又平面BBGC，平面ABC平面BBGA平面ABC= BQ ADL BQ AD?平面ABC 由面面垂直的性质定理可得 ADL平面BBGC,即AM三/8锥A- BDC的底面BDC上的高，1 _1 1VA_B1DC = S B1DC ad=-x-x2x/3x3 = 1. 33 2（2）该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，小如、，121116:体积 V= 2X2 x4-3x2x2X4X4= 8tt -y.答案（1）C（2）A考点三多面体与球的切、接问题一典例迁移【例3】（经典母题）（2016 全国田卷）
14、在封闭的直三棱柱 ABC- A1B1G内有一个体积为V的球.若AB，BC, AB= 6, B最8, AA=3,则V的最大值是（）A.4九b.2C.6九D.32 7t3T解析 由 AB，BC, A五 6, BG= 8,得 AC= 10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设 底面4ABG的内切圆白半径为r.-11，则2乂6乂8=2乂(6 + 8+10) r,所以 r=2.2r = 4 3,不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.一 3由 2R= 3,即 R= 3.4。 9故球的取大体积v=三冗R=；冗. 32答案 B【迁移探究11若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC- ABG的6个顶点都在球O 的球面上”，若 A五3, AG= 4, AB!AG, AA=12,求球。的表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABEG- ABEiG,则球。是长方体ABEG- ABEiG的外接球
