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1、15.3定积分的概念定积分的概念问题1：求曲边梯形面积的步骤是什么？提示：分割、近似代替、求和、取极限问题2：你能将区间等分吗？提示：可以定积分的概念如果函数f(x)在区间上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxf(i)其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式对定积分概念的理解由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值
2、仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du.定积分的几何意义问题1：根据定积分的定义，求(x1)dx的值是多少提示：(x1)dx.问题2：(x1)dx的值与直线x1，x2，y0，f(x)x1围成的梯形的面积有什么关系？提示：相等定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积这就是定积分f(x)dx的几何意义评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲
3、边梯形的面积一般情况下，如图，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线xa，xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号. 定积分的性质问题1：利用定积分的定义，试求x2dx，2xdx，(x22x)dx.提示：计算得x2dx，2xdx3，(x22x)dx.问题2：由问题1计算得出什么结论？提示：x2dx2xdx(x22x)dx.问题3：还有相类似的性质吗？提示：有定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)dxf1(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)对定积分的性质的说明定积分的性质(1
4、)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：dxf1(x)dxfm(x)dx(mN*)f(x)dxc1af(x)dxf(x)dx(ac1c2ckb，且kN*)利用定义求定积分利用定积分的定义，计算(3x2)dx的值令f(x)3x2.(1)分割在区间上等间隔地插入n1个分点，把区间等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、作和取i(i1,2，n)，则Snx255.(3)取极限(3x2)dxliSnli .利用定义求定积分的步骤利用定积分的定义，计算(x1)dx的值解：f(x)x1在区间上连续，将区间等分成n个小区
5、间(i1,2，n)，每个区间的长度为x.在上取i1(i1,2，n)，f(i)112，(i)xn22，1(1x)dx .利用定积分的几何意义求定积分说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)2dx；(2)xdx；(3) dx.(1)2dx表示的是图中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx2.(2)xdx表示的是图中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx.(3)1dx表示的是图中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx.利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa
6、，直线xb及x轴所围成的平面图形的形状常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值解：图中，被积函数f(x)1x在区间上连续不间断，且f(x)0，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S (1x)dx33，所以阴影部分的面积为.图中，被积函数f(x)在区间上连续不断，且f(x)0，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为Sdx12，所以阴影部分的面积为.利用定积分的性质求定积分已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求下列各式的值：(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x22x3)dx.
7、(1)(3x3)dx3x3dx3x3dxx3dx312.(2)(6x2)dx6x2dx66126.(3)(3x22x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx32. 定积分与函数的奇偶性若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在上连续，则：(1)若函数f(x)为奇函数，则 f(x)dx0；(2)若函数f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.已知 dx12，g(x)dx6，求3f(x)dx.解：f(x)dxg(x)dx dx，f(x)dx1266，3f(x)dx3f(x)dx3618.由ycos x及x轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为_由ycos
8、 x及x轴围成的介于0与2之间的平面图形可以分成三部分：，利用定积分的几何意义可得，所求面积为cos xdxcos xdxcos xdx. cos xdxcos xdxcos xdx 1若对定积分的几何意义理解不到位，则易错误地表示为cos xdx.2写定积分时应注意：当f(x)0时，S由定积分的几何意义可得(3x1)dx_.解析：由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形，如图所示 (3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积， (3x1)dx(331)216.答案：161下列等式不成立的是()A. dxmf(x)dxng(x)dx
9、B. dxf(x)dxbaC. f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.xdxsin xdxsin xdx解析：选C利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立例如xdx2，2dx4，2xdx4，2xdxxdx2dx.2图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.2xdxB.(2x1)dxC.(2x1)dxD.(12x)dx解析：选B根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx1dx(2x1)dx.3由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是_解析：0x0.ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin xdx.答案：sin xdx4若dx3
10、，dx1，则dx_.解析：dxdxdxdx312.答案：25用定积分的几何意义求dx.解：由y可知x2y24(y0)，其图象如图dx等于圆心角为60的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin ，S矩形ABBC2，dx2.一、选择题1若f(x)dx1，g(x)dx3，则dx等于()A2B3C1 D4解析：选Cdx2f(x)dxg(x)dx2131.2由定积分的几何意义可得dx的值等于()A1 B2C3 D4解析：选A定积分dx等于直线y与x0，x2，y0围成三角形的面积S211.3已知f(x)为偶函数，且f(x)dx8，则等于()A0 B4C8 D16解析：选D被积函数f(x)
11、是偶函数，在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等，6f(x)dx2f(x)dx2816.4定积分(3)dx等于()A6 B6C3 D3解析：选A3dx表示的面积S326，(3)dx3dx6.5定积分xdx与dx的大小关系是()A.xdxdxB.xdxdxC.xdxdxD无法确定解析：选C由定积分的几何意义结合右图可知xdx二、填空题6设f(x)是连续函数，若f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.解析：f(x)dxf(x)dx所以f(x)dxf(x)dx2.答案：27如下图所示的阴影部分的面积用定积分表示为_解析：由定积分的几何意义知，S4dx.答案：4dx8.2(s
12、in x2x)dx_.解析：由定积分的性质可得2(sin x2x)dx2sin xdx22xdx.又因为ysin x与y2x都是奇函数，故所求定积分为0.答案：0三、解答题9求1f(x)dx的值，其中f(x)解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即1f(x)dx1f(x)dx1(2x1)dxexdx21e1(e11)10利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(1)1|x|dx；(2)dx.解：(1)如下图，因为A1A2，所以1|x|dx2A121.(A1，A2分别表示图中相应各处面积)(2)dx1dx即用边长为1的正方形的面积减去圆(x1)2y21的面积的，为1.1
