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1、浅谈新定义试题的编制方式与解题要点江西省彭泽县杨梓中学程峰在近几年中考试题中频频出现这样一类题一一新定义问题。新定义问题主要考查学 生的阅读理解能力、自学能力以及接受新事物适应情况的能力，大部分学生感觉这类试 题有一定的难度。本文拟谈谈此类试题的编制方式和解题要点。一、新定义数试题编制方式：以一些具有特殊性质或具有特殊关系的数为背景。解题要点：抓住新定义本质特征或隐含的规律。我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，任何一个理想分数都可#11111 1111以写成两个不同理想分数的和，如丄二丄 1 ,丄=丄丄，丄二丄，根据对上述236 3412 4520式子的观察，请你思考：如果理想分数11 1用
2、含n的式子表示)1 (n是不小于2的正整数)=1，那么a b二 (na b解析观察式子136，3 一 412，4丄的分母发现5202/c 八 23+6=9=3=(2+1)，a+b=(n+1)2 2 2 24+12=16=4 =(3+1) ，5+20=25=5=(4+1)，由此得例2如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如4=22-0 2，12=42-22，20=62-4 2，因此，4，12，20这三个数都是神秘数。(1) 28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为 2k+2和2k (其中k取非负整数)。由这两个连续偶数构造的神 秘数是
3、4的倍数吗？为什么？(3) 两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？解析 (1)v 28=82-6 2，2012=5042-5022，二 28 和 2012 这两个数是神秘数。(2)设两个连续偶数为 2k+2和2k构造的神秘数是 M则依据“神秘数”的定 义可得 M=(2k+2) -(2k)=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=4(2k+1). 故 M是 4 的倍数。(3)设两个连续奇数分别为2k+1和2k-1，则其平方差为(2k+1) 2-(2k-1) 2=8k，而8k无法表示成两个连续偶数的平方差，故两个连续奇数的平方差 (取正 数)不是神秘数。、新定义运算试题编制方式：人为的给
4、出新的运算符号并赋予它相应的运算法则或顺序或程序。解题要点：抓住新定义运算的法则或顺序。例3在实数范围内定义运算“”，其规则为a b=a2-b2,则方程(4A 3) x=13的解为x= .解析 由 a b=a2-b2，得 4A 3= 42-3 2=7.由(4 3) x=13，得= x=13，2 2 7 -x =13，. x= 6.例4定义一种对正整数 n的“ F运算”：当n为奇数时，结果为3n+5;当n为偶数时，结果为n2k(其中k是使芈为奇数的正整数)2k，并且运算重复进行。解析例如：取n=26,则26第3次若n=449,则第449次“F运算”的结果是根据F运算的程序，考虑寻找规律。由449
5、F第2次FFF第4次第5次第6次,可看出，以后的运算结果是1和8的交替出现，由于从第 4次起，运算次数是偶数，结果为1，运算次数是奇数，结果为8,因449是奇数，故运算结果为8。三、新定义点或线试题编制方式：以满足特定关系或性质的点或线为背景。解题要点：抓住新定义的点或线的内涵与外延。例5 如图1（ 1）,在平面上，给定了半径为 r的圆0,对于任意点，在射线 0P上取 一点P/,使得OP- OP，=r2，这种把点P变为P，的变换叫做反演变换，点 P 与点P，叫做互为反演点。如图 1 （2）, O 0内外各一点A和B,它们的反演点 分别为A，和B,求证：/ A，=Z B.(1)证明： A和A，,
6、 B和B，互为反演点,2 2 0A- 0Ax =r , OB- OB =r ,/ 0A- 0AX =0B- OB0A 0BOB 0A又/ BOA=/ AOB OABA OBA / A，=Z B.三、新定义图形新定义图形主要是指新定义三角形、四边形（如矩形、梯形、平等四边形等）、圆、多边形等。其中新定义四边形在试题中出现最多。试题编制方式：以图形中边或角或对角线满足特定的条件（如数量关系，位置关系）或 图形经过某些变换（如平移、旋转、折叠）为背景，从而赋予这些图形新的定义，例如： 对角线相等的四边形叫做等对角线四边形，至少一组对边相等的四边形叫做等对边四边 形，等等。解题要点：抓住新定义图形的性
7、质，变换方式等，必要时结合三角形全等，相似，特殊 四边形的性质等有关知识。例6 如图2所示，给出如下定义：第一个四边形的两组相邻两边分别相等，则称这 个四边形为筝形四边形。图2（1 ）写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形名称；（2）如图 2，在筝形 ABCD中，AD=CD AB=BC 若/ ADC=60，/ ABC=30，求证：2AB=bD.解 （1）正方形或菱形。（2）证明：如图2，过点B作BECO交CO延长线于点E,连接BD在厶 ABD和 BCD中，AB=CB AD=CD BD=BD ABDA BCD.1/ BCD / ADC=30 ,21/ PCBa / ABC=15 ,2/
8、 BCE=45 .设 BE=x，在 Rt BCE中，CE=x,BC= 2 BE= .、2 x=AB,在 Rt DBE中，/ BCD=30 , BD=2BE=2x, AB2=2x2,BD2=4x2, 2AB2=BE2.说明 本题通过构造 Rt，结合边的关系以及特殊角，把BD AB联系起来。例6给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平和，则称这个四边形为等平方和四边形。(i)n(2)(1) 如图 3( 1),在梯形 ABCD中, AB/ BC, AC丄 BD,垂足为 O,求证：aD+bCuA+dC. 即四边形ABCD是等平方四边形。(2) 如图3(2)是将图3( 1)中的
9、 AOD绕点O按逆时针方向旋转 a(0 av90 ) 后得到，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请你证明，若不能， 请说明理由。解(1)v AC丄 BD于 O,/ AODM BOC=/ AOB=/ DOC=90 . oA+oD=Ati，oB+oC=bC， oa2+oB=aB oD+oC=dC. aD+bc=aB+dC，即四边形ABCD是等平方和四边形。(2) 分析：要说明旋转后四边形是否为等平方和四边形，只要说明AC丄BO而/AOD=90，所以只要证/ AO D=Z AOD即可，为此，画出原梯形 A BCD。如图3 (2)，连结AC BD交于点O./A D/ BC A OD CO
10、B.OA ODOA _ ODOC - OBOC OBOA =OA OD =OD/ AOA =Z DOD =a，/ AOC=/ DOB=180 -a，亍 OA OD又， AOSA DOB.OC OB/ 仁/2 又3=Z4/ AOD2 AOD=90，由(1)结论得AD+BC=AB+DC，即四边形 ABCD是等平方和四边形。四、类比定义试题编制方式：以学生熟知的定义进行引申或类比，从而引出新的定义。例如：由黄金 分割点类比引出黄金分割线，或引申为黄金三角形等，又如把位似与旋转相结合引出旋转相似变换等。解题要点：抓住原始定义和新定义及有关性质。i-(3) 如图4( 1), C是线段AB上一点，且满足_
11、BC = AC二，则点c叫做线段AC AB 2AB的黄金分割点。比值5 1叫做黄金比。2iCB(1)B ( 3)(1) 类似地我们可以定义：顶角为36的等腰三角形叫做黄金三角形，其底与腰之比为黄金比。如图 4(2),在厶ABC中，/ A=36, AB=AC / ACB的角平分线 CD交腰AB于D,请你说明D为腰AB的黄金分割点的理由。(2) 若腰和上底相等，对角线和下底相等的等腰梯形叫做黄金梯形。如图4 ( 3), AD/ BC, AB=AD=DC AC=BD=BC试说明 0为AC的黄金分割点。(3) 如图 4(4),在 Rt ABC中，/ ABC=90 , CD为斜边 AB上的高，A、B、A
12、CB的 对边分别为a、b、c,若D是AB的黄金分割点，那么 a、b、c之间的数量关系 是什么？并证明你的结论。证明(1 )在厶ABC中,/ A=36, AB=ACACB=72/ CD平分/ ACB1/ DCB / ACB=36 ,./ A=Z DCB2/ ABC=z CBD AB3A CBDADBD， AB _ CB CB BD .AB又易证得BC=CD=AD AD D为腰AB的黄金分割点。(3) 在厶 ABC DCB中,/ AB=DC AD/ BQ / ABC玄 DCB/ BC=CBABCA DCB/ ACB=/ DBC=a/ AD/ BC,DBC=/ BDA=a/ AB=ADABD=/ B
13、DA=a./ ABC=2a/ AC=BC / ABC=z CBA=2a在厶ABC中，/ ABC+Z ACB+Z BAC=180 , 5a=180 , a=36 .在等腰 ABC中， BD为/ ABC的角平分线，Z ACB=36由（1）的结论知O为腰AC的黄金分割点，即CO AOAC 一 CO（3）a、b、c之间的数量关系是 b2 =ac.vZ ACB=90 ,CO丄 AB, Z ACBZ ADC=90 ,vZ A=Z A , ACBA ADC些二塑,即AC 2 = AD *AB-AD AC b2 = AD *c ,同理可证,a2 = BD *c , ADb2cBD又v D为AB的黄金分割点,
14、AD 2 = BD *c.把，代入得ba2c2,v a,c均为正数， b2 = ac .说明本题各问运用黄金分割点的定义及性质，结合三角形相似等知识，使问题得证。小结：由以上几例可知，新定义问题并不神秘，表面上是我们没有见过的问题，但只要理解 了新定义并紧扣新定义，就可将其转化为我们熟悉的问题。当然这一转化过程中学生的三基（基本知识、基本能力、基本方法）起决定性作用。若三基不牢固、扎实，则解任何问题都 是空中楼阁。归根到底，不管中考试题如何变化， 如何推陈出新，其宗旨都是考查学生的 三 基”。因此，三基才是解题的根本，不管是平时的学习还是总复习都应重视三基的训练，作 为教师，在新或总复习教学中始终应把提高学生的三基放在首位。
