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1、邯郸学院本科毕业论文题 目介值定理及其应用学 生姚梅指导教师王淑云教授年 级 2008级本科专 业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2012年6月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的.如有剽 窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由 此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督.特此 郑重声明.毕业论文作者（签名）:介值定理及其应用摘要介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在数学分析教材中，一般应用有 关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明.本 课题通过构造辅助函数，应
2、用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值 定理进行证明.介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题.如利用 介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等.此外本文 还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用.关键词： 介值定理连续函数根的存在定理应用Intermediate value theorem and its applicationYao MeiDrected by Professor Wang ShuyunABSTRACTIntermediate value theorem is a continuo
3、us function on a closed interval in an important properties. In mathematical analysis textbook, general application about real number completeness theorem of supremum principle, the monotone bounded theorem, nested interval theorem, finite covering theorem to prove. This topic through the constructi
4、on of auxiliary function, application of nested interval theorem, compact theorem, Cauchy convergence criterion, principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem. Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems. Such as t
5、he use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root, the proof of inequality, that some equation and solving practical problems. In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediat
6、e value theorem.:Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of rootApplication摘要I外文页II刖 言11介值定理及其证明方法21.1介值定理的内容21.2介值定理的四种证明方法2121应用确界原理2122应用区间套定理3123应用致密性定理证明41.2.4应用柯西收敛准则证明62介值定理的应用72.1利用介值定理判断方程根的存在性72.2介值定理在解不等式中的应用92.3介值定理在证明等式中的应用112.4介值定理在实际问题中的应用133介值定理的推广153.1 一
7、元函数介值定理的推广153.1.1推广介值定理的内容153.1.2推广的介值定理的一个应用163.2二元函数的介值定理 193.2.1二元函数介值性定理的内容193.2.2二元函数介值定理的应用20参考文献22致谢22-AX.1前言介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质.这一定理虽然简单，但应用却异常广 泛，微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理.介值定理(In termedia te valuetheorem)首先由伯纳德波尔查诺提出和证明对波尔查诺来说有点不幸的是：他的 数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此 时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了 华
8、东师范大学版的数学分析对介值定理的描述是：设函数f在闭区间la,订上连续, 且f (a)丰f (b) 设卩为介于f (a)与f (b)之间的任何实数(f (a) 卩 f (b)或 f (a) 卩 f (b)，则至少存在一点x 0 g (a, b)，使得f (x0)=卩介值定理是闭区间上连续 函数的重要性质之一，在数学分析教材中一般应用有关实数完备性的6个基本定理中 的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明.在这里我们通过巧妙地 构造辅助函数，应用区间套定理，致密性定理，柯西收敛准则以及确界原理来证明.介值 定理在连续函数中具有广泛的应用性.比如判断方程根的存在性、求解不等式、证
9、明一些 等式、解决实际问题等.当然还有其它许多关于介值定理的研究，他们多数都是针对介值定理的某一方面而进 行的，例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章介值定理的推广及其应用，一方 面他把闭区间推广为任意区间，另一方面从常数f (a)和f (b)入手，f (a)和f (b)也可以为 g或+ 8 .利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝对误差为0.1m(m g N)的近似解的 一种好方法.此外二元函数介值定理的介绍，拓宽了研究范围，加深了学习难度.使我们能够更加 努力地学习.1介值定理及其证明方法11介值定理的内容定理1设函数f在闭区间a,b上连续，且f (a)丰f (b) 设r为介于f (a)
10、与f (b)之间的任何实数(f (a) RR f (b)，则至少存在一点x e (a, b)，使得0f (x0)二 r -这个定理表明，若f在a,b上连续，又不妨设f (a) f (b)，则f在a,b上必能取得 区间f (a),f (b)上的一切值，即有f (a), f (b) u f (a,b).推论(根的存在定理)若函数f在闭区间a,b上连续，且f (a)与f (b)异号(即f (a)f (b) 0 )，则至少存在一点x e (a,b)，使得0f (x ) = 0 .0即方程f (x)二0在(a,b)内至少有一个根根的存在定理也就是零点定理在下面一些 问题的证明中，我们会多次应用根的存在定
11、理也即零点定理来解决一些问题，并且借用根 的存在定理证明介值定理.1.2介值定理的四种证明方法121应用确界原理1不妨设f (a) u f (b) 令g(x) = f (x) -u，贝Ug也是a,b上的连续函数，且g(a) 0 于是定理的结论转化为：存在x e (a,b),使得g(x )二0 这个简单的情0 0 形即为根的存在性定理.记E = 4|g(x) 0,x e a,b显然E为非空有界集(E u a,b且b e E),故由确界原理，E 有下确界，记x = inf E .因由连续函数的局部保号性，存在5 0,使得在a,a + 5 )内g(x) 0,由此易见x丰a, x丰b,即x e (a,
12、b).0 0 0下证g(x )二0 倘若g(x )丰0,不妨设g(x ) 0,则又由局部保号性，存在U(x ;n )0 0 0 0(u (a,b),使在g(x) 0,特别有 g(x -) 0 n x - e E .但这与x 二 inf E 相矛盾,0 2 0 2 0故必有g(x )二0 01.2.2应用区间套定理i我们可以把问题转换为证明根的存在定理，即若函数g在a,b上连续g(a) 0，则存在 x e (a, b)使得 g (x )二 0 0 0将a,b等分为两个子区间a,c与c,b 若g(c)二0，则c即为所求；若g(c)丰0，则当 g (c) 0 时记a , b = a, c，当 g (
13、c) 0 时记a , b = c, b 于是有 g (a ) 0，i ii iiii且a , b u a, b， b 一 a = (b - a).i ii i 2再从区间a ,b 出发，重复上述过程，得到：或者在a ,b 的中点j上有g(c ) = 0，1 ii iiii或者有闭区间a ,b ，满足g(a ) 0，且a ,b u a ,b ，b - a 二(b - a) 2 22222i i2222将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：(1) 在某一区间的中点c上有g(c )二0，即c即为所求；iii(2) 在任一区间的中点c上均有g(c )丰0，则得到闭区间列a ,b ，满足iin n
14、g (a ) 0，且nnia , b u a , b ， b - a 二(b - a), n 二 i,2,.n+i n+in nnn由区间套定理，存在点x e a ,b ,n二1,2,.下证g(x ) = 0.倘若g(x )丰0,不妨设0n n00g(x ) 0,则由局部保号性，存在U(x ;5 ),使在其内有g(x) 0.而由区间套定理的推论，当 0 0n充分大时有a ,b u U(x ;5 ),因而有g(a ) 0 .但这与a ,b 选取时应满足的g(a ) 0n n0nn nn相矛盾，故必有g(x )二0 0123应用致密性定理证明先证明下面两个引理引理血 设x 是有界数列，而且lim(x - x )二0，则(x 的聚点的集合是a,b，其nn 1nn中 a = lim x , b = lim x ,nnn *n 证明根据定义，a与b都是x 的聚点，故我们只要证明a与b之间的任意实数nx(a x b)都是x 的聚点即可.x x 0及任给的正整数n，必有n* n存在，使得 0 0事实上，由假定可知必有正整数n存在，使当n n时，恒有|x
