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1、练习一1.设导弹的可靠度为0.85,两枚导弹在射击目标时不是互相统计独立，第一枚未击中第二枚 也击不中的概率为0.2,然而第一枚击中，第二枚击中的概率不变,仍旧是0.85,试问两枚 导弹至少有一枚击中的概率？解.P(A)二 085 P(BIA) = 0.2 P(Bl A) = 085P(Bl A) = 08P(BI A) = 015至少有一枚击中的概率是：P(AB)+ P(AB)+ P(BA)注意本题指的是第一枚未击中情况下，第二枚的击中概率会有变化,如果第一枚击中话,则第二枚射击无影响，所以A,B和AB是统计独立的，故有：P(AB) = P(A) - P(B) = 085 x 085 = 0
2、.7225P(AB) = P(A) - P(B) = 085 x 085 = 01275但A和B是统计相关的P(AB) = P(A)P(Bl A) = 015 x 08 = 012所以至少击中一枚的概率为它们之和=0.972.试验一种产品，有98%的判断有缺陷的产品,而4%的概率将好产品认为是有缺陷的,如果对批试验产品有3%的次品率，问一个产品归为次品而真正是次品的概率是多少？解：D表示产品是有缺陷的事件C表示将产品归为有缺陷事件那么 P(D)=0.03P(C|D)=0.98P (Cl D) =0.04用贝叶斯定理来计算P(D|C)(0.03)(0.98)P (Dl C) = 0.43P (C
3、l D) P (D) + P (Cl D) P (D)(0-98)(0-03) + (0-04)(0-97)P (D) P (Cl D)练习二2.1设有一批零件共100件，其中有5件次品，现从中任取50件，问恰好有一件次品的概率是 多少？解：S= “从100件中任取50件”共有多少种抽法，即C500100!50!(100 - 50)!每一种抽法就是个事件，即得到总的样品空间数。B= “任取50件，其中恰好有1件次品”，由多少基本事件？显然，任抽的50件恰好有一件次品，必须从95件合格品中抽出49件合格品，共有C49种取法，而从5件次品中取1件次品共有C5种抽法，所以，B事件的数目为C59 x
4、C5,而 它占总的样品空间的比例即为所求的概率95!：x 5P b = C990 =咖鬻譽！= 63%C50100!10050!(100 - 50)!2.2 证明：MTTF 二严R(t)dt0解：ET = fw tdF (t)0= fw-tdR(t)0=-tR(t )18 + 卜 R(t )dt0 0=f8 R(t )dt0设ttf (t )dt是一个有限数，则0lim f8 tf (t )dt = 0TT8 T对于任何的T 0，有0 TR(T)二 Tf8 f (t)dt tii试求时间t系数的可靠度和失效密度函数?解:当t t ,1R(t) = exp 一 J t1 X (x)dx + ft
5、 X (x)dx=exp(-Xt) - exp- Jt X + k(t -1 )dtt1=exp(-Xt) - exp-X(t-t)- exp- J tk(t -1 )dtt1=exp(-X t) - exp-k -(t 它t2t1=exp(-X t) - exp- - (t - t )2=exp-X t - 2 (t - t )2 -Xt+业仝f(t) = X + k(t - t1)e22.8已知某部件的失效率久=10-5 /小时,试求：(a) 1000小时部件可靠度？(b) 如果有1000个这样的部件同时工作,问1000小时工作内有多少部件已经失效?(c) 部件在一个MTT F时间的可靠度
6、是多少？(d) 如果已知部件工作了1000小时，问继续工作1000小时的概率是多少？解: (a)R(1000) = e-Xx1000 = 1 1000X = 0.99,、An(b)X (t)=At N - n (t)An = X (t) - N - n(t) - At=10-5 x (1000 - 0) x 1000=10MTBF(c) R(MTTF) = e-mtbf = e-1 = 0.368(d) 根据指数分布的无记忆性P(t + At|t = 1000, T t) = P(1000) = 0.99证明无记忆性简单说明如下：P(t + A t|t)=P(t + At, t)P(t + A
7、t)P (t)P(t)=e九（t+At）/ e九t=e-九At2.9进行汽车轴承的磨损实验,投试的样品为46,现将试验结果统计表如下:区间（公里）故障数目0WmW200001920000WmW400001140000WmW60000760000WmW80000580000 WmW 1000004100000Wm0试求失效率函数，可靠度函数解（1）：首先按时间求出系统各点的可靠度与不可靠度公里数（t）累积失效总数NfF(t) =Nf/NR( t)=1-F( t)20000190.4130.58740000300.6520.34860000370.8040.19680000420.9130.087
8、100000461.0000.0ANANf (t) f FNAt46.20000AN九(t) 1N - AtsA SNS0.207 xl0-40.207 x10-419460.120 x10-40.204 x10-41270.076 x10-40.219 x10-47160.055 x10-40.278 x10-4590.044 x10-40.500 x10-444解摘自书例：计算公式:R（t）=罟，h(ti)=N (t)-黑+At) zNAt第一组结果如下：R(20000)二 27/46 二 0.587八46 - 27h(t ) =-= 0.207 x 10-4i 46-(20000)27
9、-1646-(20000)=0.120 x 10 - 4tN - N (t)F (t)R (t)f (t) x 104h(t) x 10420000190.4130.5870.2070.20740000300.6520.3480.1200.20460000370.8040.1960.0760.21980000420.9130.0870.0550.278100000461.0000.00.0440.500练习三3.1在某一系统中，对某一种继电器，要求它必须动作2000次，如果随机地抽取20只继电器作 动作次数试验，作到10000次都没有失效的,那么在90%的置信度条件下，母体可靠度的置 信下限是
10、多少呢？解1：总的动作次数=20X10000=200000;200000 “n=工作周期数=三丽沁100 ；因为无效的,所以,n=100; r=0 y =0.90.解2:在二项式可靠度表中，查n=179、r=0那一行和y =0.90那一列的数值，得R = 0.9772七2000按零失效估计:R(t ) T0，n = 0.12x105 = 0.9770解 3: R =0.9775 , F 沁 2.33L10.11 + F (2,200)100 0.13.2如果某产品的失效分布是指数分布，如果随机抽取80只产品进行250小时寿命试验，发现78只是可靠的，有2只失效，若以90%的置信度推算失效率久的置信上限九U?解：因为R = 1 - F = e-九所以 X = -In R t利用二项式可靠度表，查n=80、r=2那一行和y =0.90那一列的数值，为R = 0.9348L(r +1) (n 一 r)Fa2(r + l),2(n - r)Rl =亍沁0.9348,1 + 78 F0.1(6156)将其代入上式，当t=250小时，得到入U 一舟皿09348
