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1、导数的基础知识yf(Xox) f (Xo)； ；XX一. 导数的定义：2. 利用定义求导数的步骤:求函数的增量：y f(x0X) f(X0);求平均变化率:取极限得导数:(下面内容必记)f (Xo)lXmo二、导数的运算：(1) 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式: C 0(C为常数):(Xn) nxn1 ；(丄)(x n)X(sin x) cosx ；(cosx)sinx (ex) exnxn1 ； (n丹mn(X )mm - x n(ax)ax In a(a 0,且a 1)；环1(In x)x法则 1： f(x)1(log a x)(a 0,且 a 1)xln ag(x) f (x)
2、g(x) ； ( 口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则 2： f(x) g(x)f (x) g(x) f (x) g(x)( 口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号法则3：韵f(x) g(x) f(x) g(x)2g(x)(g(x) o)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)(2)复合函数yf(g(x)的导数求法：换元，令u g(x)，则y f (u)分别求导再相乘 y g(x) f(u)回代u g(x) 题型一、导数定义的理解题型二：导数运算2 1、已知 f x x 2x sin ，则 f 02、若 f x exsinx，贝卩 f X 3、f (
3、x) =ax3+3x2+2 , f ( 1)4，则 a=()三. 导数的物理意义1. 求瞬时速度：物体在时刻 t0时的瞬时速度V就是物体运动规律 S f t在t t0时的导数f t0 , 即有V0 f t0 。2. V = s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四. 导数的几何意义：函数f X在X。处导数的几何意义，曲线y f X在点PX0,fX0处切线的斜率是k fX0。于是相应的切线方程是：y y0 f Xo x Xo。题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况：(1) 曲线y f x在点PX), fx0处切线：性质：k切线fX)。相应的切线方程是：yy0fx0xx()(2) 曲线
4、y f x过点P x0,y0处切线：先设切点， 切点为Q(a,b),则斜率k= f (a)，切点Q(a,b)在曲线 y f x上，切点Q(a,b)在切线y y0 f a x x0上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b的方程组，解方 程组来确定切点，最后求 斜率k= f (a)，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1) k yLx。3x026x063(x01)23 当xo=-1时，k有最小值 3,此时P的坐标为(-1 , -14 )故所求切线的方程为 3x-y-11=0五. 函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导，(1)
5、f (x) 0f(x)该区间内为增函数；(2) f (x) 0f (x)该区间内为减函数；注意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍是递增(或递减)的。(3) f (x)在该区间内单调递增f(x) 0在该区间内恒成立；(4) f (x)在该区间内单调递减f(x) 0在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明(或判断)函数 f(x)在某一区间上单调性：步骤： (1)求导数 y f (x)(2) 判断导函数y f (x)在区间上的符号(3) 下结论 f(x) 0f (x)该区间内为增函数； f (x) 0f (x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调
6、区间求函数y f (x)单调区间的步骤为：(1)分析 y f (x)的定义域；(2)求导数 y f (x)(3) 解不等式f (x)0，解集在定义域内的部分为增区间(4) 解不等式f (x)0 ,解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一 .(1) f (x)在该区间内单调递增 f(x)0在该区间内恒成立；(2) f (x)在该区间内单调递减 f (x)0在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f (乂)在(a, c)上为减函数，在(c, b)上为增函数，
7、则x=c两侧使函数f (x)变号，即x=c为函 数的一个极值点，所以f(c) 0一一In x例题若函数 f (x)，若 a f(3),bf(4),cf(5)则()xA. a b c B. c b a C. c a b D. b a c六、函数的极值与其导数的关系：1. 极值的定义：设函数 f (x)在点X。附近有定义，且若对 X。附近的所有的点都有 f(x) f(x。)(或f(x) f(x。),则称f(Xo)为函数的一个极大(或小)值，X0为极大(或极小)值点。 可导数f(x)在极值点X。处的导数为0(即f(x。) 0 )，但函数f(x)在某点x0处的导数为0，并不一定函数f(x)在 该处取得
8、极值(如 f (x) X3在x0 0处的导数为0,但f (x)没有极值)。 求极值的步骤：第一步：求导数f(x)；第二步：求方程f (X)0的所有实根；第三步：列表考察在每个根x附近，从左到右，导数f (x)的符号如何变化，若f (X)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；若f(X)的符号由负变正，贝y f (x0)是极小值；若f (X)的符号不变，则f (X0)不是极值，X0不是极值点。2、函数的最值： 最值的定义：若函数在定义域 D内存X0,使得对任意的x D，都有f (x) f (X0),(或f(x) f(x0)则称f(X0)为函数的最大(小)值，记作ymaxf (X0)(或yminf
9、(X) 如果函数yf (x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b上必有最大值和最小值。 求可导函数f (x)在闭区间a,b上的最值方法：第一步；求f (x)在区间a,b内的极值；第二步：比较f(x)的极值与f(a)、f (b)的大小：第三步：下结论：最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值工最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。2. 函数
10、在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值；极小值对应最小值)13、 注意：极大值不一定比极小值大。如f(x) x 的极大值为 2，极小值为2。x注意：当x=X0时，函数有极值f /(xo) = 0。但是，f/(x 0) = 0不能得到当x=X0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数f (x)的符号f (x)与x轴的交点且交点两侧异号f (x)的增减性f (x)的增f (x)减已知 f(x)=e X-ax-1.例1.(1)(3)求f(x)的单调增区间；是否存在a,使f(x)在
11、(-原函数f(x)单调性 f (x)极值 f (x)的每一点的切线斜率的变化趋势 f(x)的每一点的切线斜率增大( f (x)的每一点的切线斜率减小(f (x)的图象的增减幅度) f (x)的图象的变化幅度快) f (x)的图象的变化幅度慢)(2)若f(x )在定义域R内单调递增,a, 0上单调递减，在0,求a的取值范围；+a)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：f (x)=eX-a.(1)若 a0 恒成立，即 f(x)在 R上递增.若 a0,e x- a0, ex a,x Ina. f(x)的单调递增区间为(Ina,+ a).(2) v f ( x)在R内单调递增， f
12、(x)0在R上恒成立./ex-a0,即卩 aex在 R上恒成立. a0,.a0.(3) 由题意知，x=0为f(x)的极小值点. f (0) =0,即e- a=0, a=1.例2.已知函数f(x)=x 3+ax2+bx+c,曲线y=f(x )在点x=1处的切线为l:3x-y+仁0 ，若x= 2时，y=f(x )有极值.(1)求 3a,b,c的值；(2)求y=f(x )在-3 , 1上的最大值和最小值.322解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c,得 f (x) =3x+2ax+b,当x=1时，切线I的斜率为3,可得2a+b=0当x= 2时，y=f(x)有极值，则f 2 =0,可得4a+3
13、b+4=033由解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1, f(1)=4. 1+a+b+c=4. c=5.3222(2)由(1)可得 f(x)=x +2x -4x+5, f (x) =3x +4x-4, 令 f (x) =0,得 x=-2,x=-.3当x变化时，y,y 的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21/y+0-0 +单调递增单调递减单调递增y8134/ y=f ( x)在-3 , 1 上的最大值为13,最小值为95.27例3.当x0，证明不等式ln(1x) x.1x证明：f (x)ln(x 1)x-,g(x) In(x 1) x，则 fx(x)2 ,1x(1x)当x 0时。f (x)在 0,内是增函数，f (x)f(0),即 ln(1x)x0 ,1 x又g (x)彳x，当x 0时,g (x) 0 ,g(x)在 0,内是减函数，g(x) g(0)，即ln(1 x) x 0,因1x此，当x 0时，不等式ln(1 x)x成立.1x点评：由题意构造出两个函数f (x) ln(xx1), g(x)In (x1) x.1 x利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键七定积分求值1 定积分的概念设函数f (
