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1、2015线性代数考前练习基本功提要矩阵的秩rA=r=A中有r阶子式不为0,每r1阶(如果有)子式全为0.rA2二A中有2阶子式不为0.rA：3二A中每一个3阶子式全为0.rA=A列秩二A行秩.公式：rAT=rA:rkA=rA,k=0:rABrArrB;rABminrA,rB，特别地，如A可逆，则rAB二rB,rBA二rB; rATA二rA；若AB=0，则rArB1,3,0丁，债=：i1,a2,-2丁，若不能由a,a线性表出，直11001，则齐次方程组Anx=0的通解且秩r(A)=2,A*是A的伴随矩阵，则齐次方程组A*x=0的通解17.设A=0】.T8已知A是3阶实对称矩阵且有E-A=0，若1
2、11221A30=602T-14-2则齐次方程组A-Ex=0的通解是-111-11们01_10109已知矩阵A=与矩阵B=不等价，则a23a2a3351一aT51一1210.(1)已知A,B满足关系式A22AB=E，若B=0301a，则秩r(AB-2BA+3A尸5(B)2(C)3(D)与a有关不确定(2)A是3阶非0矩阵，矩阵B1 232 46满足AB=B，又A+E不可逆，则秩r(A+E)+r(AE)=3 68_(A)2(B)3(C)4(D)500aa-b,aoab03,a03ba线性无关的充分必要条件是316.求向量组a,a,a的一a11.已知n维向量a,a,a线性无关，那么向量组(C)ab
3、12.已知a,a,a是非齐次线性方程组Ax=b的三个解，秩rA=3，若aa二1,2,3,4T,Ta+2a=(2,3,4,5)，则方程组Ax=b的通解公广1、V0201321012(A)3卜k1(B)14+k(C)1+k(D)2+k30101I261213.已知A=(a,a,a)是3阶矩阵，其中a丰0如果AB=0，其中B=2436个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表出14.已知A是mn矩阵，秩r(A)=n,a,a,川,a是n维列向量.证明：a,a,川，a线性无关的充分必要条件是Aa,Aa,川，Aa线性无关.15. 设A是mxn矩阵，n,n,，n是齐次方程组Ax=0的基础解系，a
4、是非齐次线性方程组Ax=b的一个解.(I)证明：aoc+n,a+n,a+n线性无关.()证明方程组Ax=b的任一个解必可由a,a+n,a+nt线性表出.*T|*T16. 设Aa,a,a,ai是4阶矩阵，方程组Ax=B的通解是(1,2,1,1)+k(1,3,2,0),设B=a,a,a,Ba,y一3a5a(I)判断a能否由a,a线性表出，说明理由.(ii)判断a能否由a,a2,a线性表出，说明理由(III)求方程组Bx二y的通解.17.设3阶矩阵A有3个不同的特征值I,厂3对应的特征向量分别是a,a,a,记Baaa3(I)证明：B不是矩阵A的特征向量.(II)若AB=AB,求A的特征值并求行列式A
5、+2E的值118.已知a,B均3维单位列向量，且JB-.设矩阵A=aBBa.2(I)证明：0是矩阵A的特征值.(II)证明：aB,a-B是A的特征向量.(III)写出二次型xTAx的规范形.1112-2419. 已知A=000与B=11a相似.000000(I) 求a的值.(II) 求可逆矩阵P使P二AP=B.1020. 已知A是迹为1的3阶实对称矩阵，满足AB=B，其中B=0-1I01J(I)求矩阵A的特征值，特征向量.(II)求二次型xTAx的表达式.(III)用正交变换把二次型xTAx化为标准形并写出所用坐标变换.21. 已知A和B均是n阶正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充分必要条件是AB二BA.22. 已知A是秩为r的n阶矩阵，且A22A=O.(I) 证明A和对角矩阵相似.(II) 如果A是对称矩阵，写出二次型xTAEx的规范形.-120110014241参考答案1.(1)20(2)72.0013.3-104.-848-0_10一11-10-1一848JTTTTT5.a16.k10,-1,1,0k2-1,0,0,17.k11,0,-1k?5,3,48.k1,一1,19.a=110.(1)B(2)B
