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1、高考数学精品复习资料 2019.5第2讲双曲线及其性质考纲展示命题探究1双曲线的定义(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2)符号语言：|MF1|MF2|2a(2a0，b0)(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为1(a0，b0)3双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为(0)(2)若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线方程可设为(0)或n2x2m2y2(0)(3)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2ka2)(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为mx2
2、ny21(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为1(b2|F1F2|时，动点轨迹不存在.1思维辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)1表示双曲线的充要条件是mn0，n0)，则解得mn2，故选C.3双曲线1上的点P到点(5,0)的距离是6，则点P的坐标是_答案(8，3)解析F(5,0)为双曲线的右焦点，设P(x，y)，则(x5)2y236，与1，联立解得：x8，y3.P(8，3)考法综述高考一般考查双曲线
3、方程的求法和通过方程研究双曲线的性质双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题命题法双曲线的定义和方程典例(1)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知双曲线y21的左、右焦点为F1，F2，点P为左支上一点，且满足F1PF260，则F1PF2的面积为_解析(1)由2c10，得c5，点P(2,1)在直线yx上，1，即a2b.又a2b225，a220，b25.故双曲线C的方程为1.(2)设|PF1|m，|PF2|n，所以所以mn4，所以SF1PF2mnsin60.答案(1)A(2
4、)【解题法】双曲线标准方程的求法(1)一般步骤判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能设：根据中判断设出所需的未知数或者标准方程列：根据题意列关于a，b，c的方程或者方程组解：求解得到方程(2)常见问题形式如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，
5、可以设双曲线的一般方程mx2ny21(mn0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意可得，c，又c27a2b2，解得a24，b23，故双曲线的方程为1.4.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A. B.C. D.答案A解析双曲线的离心率为2，2，abc12.又|AF1|4a，|AF2|2a，|F1F2|2c4a，cosAF2F1，选A.5设双曲线C经过点(2,2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_答案1y
6、2x解析双曲线x21的渐近线方程为y2x.设与双曲线x21有共同渐近线的方程为x2(0)，又(2,2)在双曲线上，故22，解得3.故所求双曲线方程为x23，即1.所求双曲线的渐近线方程为y2x.6如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_答案x21解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.7已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，且焦距是2，则双曲线方程为_答案1或1解析设双曲线方程为(0)若0，则a29，b24，c2a2b213.由题设知2c2，1，
7、故所求双曲线方程为1；若0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长2等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2(0)(2)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直3点P(x0，y0)和双曲线1(
8、a0，b0)的关系(1)P在双曲线内(含焦点部分)1；(2)P在双曲线上1；(3)P在双曲线外(不含焦点部分)1，当e越接近于1时，双曲线开口越小；e越接近于时，双曲线开口越大.1思维辨析(1)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(3)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()(4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k.()答案(1)(2)(3)(4)2在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为(
9、)A. B.C. D2答案A解析依题意设双曲线的方程是1(其中a0，b0)，则其渐近线方程是yx，由题知，即b2a，因此其离心率e.3以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为_答案yx解析椭圆1的焦点坐标为(1,0)，(1,0)，顶点坐标为(2,0)，(2,0)则双曲线的顶点为(1,0)，(1,0)，焦点为(2,0)，(2,0)则双曲线的标准方程为：x21.其渐近线为yx.考法综述高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大命题法双曲线的几何性质典例(1)已知F1、F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过
10、点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()A(1，) B(，)C(，2) D(2，)(2)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2y2a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析(1) 如图所示，过点F2(c,0)且与渐近线yx平行的直线为y(xc)，与另一条渐近线yx联立得解得即点M.|OM| .点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|c，即 c，得 2.双曲线离心率e 2.故双曲线离心率的取值范围是(2，)故选D.(2)如图所示，设双曲线1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，则C(a，0)，F(c,0)由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则ACOBCOACB12060.|OA|OC|a，ACO为等边三角形，AOC60.FA切圆O于点A，OAFA，在Rt
