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1、 1 1第1讲 绝对值不等式1求不等式|x3|x2|3的解集解：原不等式等价于或或解得1x2或x2，故原不等式的解集为x|x12(20xx忻州联考)已知|2x3|1的解集为m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1.解：(1)不等式|2x3|1可化为12x31，解得1x2，所以m1，n2，mn3.(2)证明：若|xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1.即|x|a|1.3(20xx高考重庆卷改编)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，求实数a的值解：由于f(x)|x1|2|xa|，当a1时，f(x)作出f(x)的大致图像如图所示，由函数f(x)的图像可知f(a)5
2、，即a15，所以a4.同理，当a1时，a15，所以a6.所以实数a的值为4或6.4(20xx九江第一次统考)已知函数f(x)|x3|xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)；(2)若存在实数x，使得不等式f(x)a成立，求实数a的取值范围解：(1)因为a2，所以f(x)|x3|x2|所以f(x)等价于或或解得x3或x3，所以不等式的解集为.(2)由不等式的性质可知f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|，所以若存在实数x，使得不等式f(x)a成立，则|a3|a，解得a，所以实数a的取值范围是.5(20xx高考全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x
3、)1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x1时，不等式化为3x20，解得x1；当x1时，不等式化为x20，解得1x2.所以f(x)1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)6(20xx河南省八校联考)已知函数f(x)|2x1|x3|.(1)求函数yf(x)的最小值；(2)若f(x)ax恒成立，求
4、实数a的取值范围解：(1)由题意得f(x)所以f(x)在上是减小的，在上是增加的，所以当x时，yf(x)取得最小值，f(x)minf.(2)由g(x)ax的图像恒过点及函数yf(x)的图像可知1a1.1(20xx辽宁省五校协作体联考)已知函数f(x)|2xa|a.(1)若不等式f(x)6的解集为x|2x3，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t，使fmf(t)成立，求实数m的取值范围解：(1)由|2xa|a6，得|2xa|6a，所以a62xa6a，即a3x3，所以a32，所以a1.(2)因为fmf(t)，所以|t1|2t1|2m，令y|t1|2t1|2，则y所以ymin，所以m.2
5、已知函数f(x)|x4|xa|(a2，求实数x的取值范围；(2)若|ab|ab|a|f(x)对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围解：(1)f(x)由f(x)2得或解得x.所以所求实数x的取值范围为.(2)由|ab|ab|a|f(x)且a0得f(x)又因为2，所以f(x)2.因为f(x)2的解集为，所以f(x)2的解集为，所以所求实数x的取值范围为.4已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(x1)2；(2)若a0，求证：f(ax)af(x)2f(a1)解：(1)由题意，得f(x)f(x1)|x1|x2|，因此只需解不等式|x1|x2|2.当x1时，原不等式等价于2x32，即x1；当12时，原不等式等价于2x32，即20时，f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2| |2aax|ax22aax|2|(a1)2|2f(a1)
