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1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出某些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值,特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一种衔接点,由于抽象函数没有具体的解析体现式作为载体，因此理解研究起来比较困难,因此做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于定义域内的每一种,都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一种周期,则（）也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期：设是周期
2、函数，在任意一种周期内的图像为C：。把个单位即按向量在其她周期的图像：。2、奇偶函数：设若若。分段函数的奇偶性3、函数的对称性:（)中心对称即点对称：点 ()轴对称：对称轴方程为:。有关直线函数有关直线成轴对称。有关直线成轴对称。二、函数对称性的几种重要结论（一)函数图象自身的对称性(自身对称）若,则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表达周期性，内反表达对称性”。1、图象有关直线对称推论1：的图象有关直线对称推论2、 的图象有关直线对称推论3、 的图象有关直线对称2、 的图象有关点对称推论、 的图象有关点对称推论、 的图象有关点对称推论、的图象有关点对称(二）两个函数的图象对称性（互相对称)
3、(运用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数与图象有关Y轴对称、奇函数与图象有关原点对称函数3、函数与图象有关X轴对称4、互为反函数与函数图象有关直线对称5.函数与图象有关直线对称 推论:函数与图象有关直线对称推论2:函数与 图象有关直线对称推论：函数与图象有关直线对称 (三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 若函数y（)有关直线x=a轴对称，则如下三个式子成立且等价：（1)f（ax)f（ax) (2）(a-x)=f() （3)f(2ax)=f(-x）性质2若函数y=f(）有关点(a，0）中心对称，则如下三个式子成立且等价:（1） f(x）-f（a-）（2） f(2a-x
4、)f(x） (3)f(+)-f()易知,y(x)为偶(或奇）函数分别为性质1（或）当=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有fg(x)g（x)， 则复数函数y=fg(x)为偶函数。定义2、 若对于定义域内的任一变量x,均有g(x)-g()， 则复合函数=f(x)为奇函数。阐明:（1)复数函数fg(）为偶函数，则fg(-x)=f（x)而不是f(x)=g(x），复合函数y=g（x）为奇函数,则fg(-x)=-fg()而不是g(x)=-fg(x)。(2）两个特例:y=f（a)为偶函数,则(+a)f(-x+)； y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+）=f(a)()
5、yf(x+a）为偶（或奇）函数,等价于单层函数y=f(x）有关直线xa轴对称（或有关点（a，0)中心对称)、复合函数的对称性性质3复合函数yf（ax）与y(bx)有关直线x=(b)/2轴对称性质4、复合函数y=f（ax)与y=-（b)有关点（b-a)/2,)中心对称推论1、复合函数y(+x)与yf（a-x)有关轴轴对称推论、 复合函数yf(ax）与y-f（-x)有关原点中心对称、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数y=f()定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数=f()是周期函数，且2|是它的一种周期。f(xa)f(-a) f(+a)-(x)f（xa)1/f(x) (x+a）=()
6、5、函数的对称性与周期性性质5 若函数yf(x)同步有关直线x与x轴对称，则函数f(x）必为周期函数，且=2|ab性质6、若函数y=f(x)同步有关点(a，0）与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且Ta|性质7、若函数yf(x)既有关点(a，0）中心对称,又有关直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=|a| 6、函数对称性的应用 （)若,即 （2)例题 、; 、奇函数的图像有关原点(0,0）对称：。 3、若的图像有关直线对称。设.(四）常用函数的对称性三、函数周期性的几种重要结论1、（ ） 的周期为，()也是函数的周期2、 的周期为3、 的周期为4、 的周期为5、
7、的周期为、 的周期为7、 的周期为8、 的周期为、 的周期为1、若、有两条对称轴和 周期推论：偶函数满足周期1、有两个对称中心和 周期推论：奇函数满足 周期13、有一条对称轴和一种对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常用类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例阐明其应用类型。1.求函数值例1（196年高考题）设是上的奇函数，当时，则等于(-05）(A)0.5； (B）-0; (C)1; (D)-1.5.例2（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。2、比较函数值
8、大小例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、的大小解：是以为周期的偶函数,又在上是增函数,且，、求函数解析式例.（9年高考题）设是定义在区间上且以为周期的函数，对,用表达区间已知当时，求在上的解析式.解:设时,有是以2 为周期的函数，例5设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数,在区间上，求时,的解析式.解:当,即,又是以2为周期的周期函数,于是当，即时,4、判断函数奇偶性例6已知的周期为4,且等式对任意均成立,判断函数的奇偶性.解:由的周期为,得，由得,故为偶函数.5、拟定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解:由题设知函数图象有
9、关直线和对称,又由函数的性质得是以1为周期的函数.在一种周期区间上,故图象与轴至少有2个交点而区间有6个周期,故在闭区间上图象与轴至少有3个交点.、在数列中的应用例8.在数列中,，求数列的通项公式，并计算分析:此题的思路与例2思路类似.解：令则不难用归纳法证明数列的通项为:,且以为周期.于是有,5,91997是以4为公差的等差数列，由得总项数为5项,、在二项式中的应用例9今天是星期三，试求今天后的第天是星期几?分析:转化为二项式的展开式后,运用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解：由于展开式中前2项中均有7这个因子,最后一项为,即为余数，故天为星期四8、复数中的应用例10（上海市1994年高
10、考题)设,则满足等式且不小于1的正整数中最小的是（A) 3 ; (B） ; （）6 ; （）7.分析:运用方幂的周期性求值即可.解：，9、解“立几”题例11.AC是单位长方体,黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第190段后,各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是(）1; （)；() ； (D）0.解：依条件列出白蚁的路线立即可以发现白蚁走完六段后又回到了点可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一种周期.1990=6,因
11、此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难计算出在走完四段后黑蚁在点,白蚁在C点,故所求距离是例题与应用例1：(x)是R上的奇函数f(x)=- f(x4） ,x0，2时f(x）=x，求(） 的值 例：已知f(）是定义在上的函数，且满足f(2)()=+(x),f（)2，求f（) 的值 。故()= f(518+1）=f（1)=2例3：已知f（x)是定义在R上的偶函数,（x）= (4),且当时,f(x)=-2x+，则当时求(x）的解析式例4：已知f(x）是定义在R上的函数,且满足f(x+999)=，f(999+)=f(999x),试判断函数f(x)的奇偶性例5:已知f()是定义在上的偶函数,
12、f（） f（x)，且当时，f(x）是减函数，求证当时f()为增函数例：f(x)满足f(x)-f(-x),(x)（-x)，若(a）=-f(）,a5，9且f（)在,9上单调.求a的值. 例7:已知f(x)是定义在R上的函数,(x)= f(4x)，f(7+x)= f(-),(0)=,求在区间-10，100上()=0至少有几种根? 解：依题意f(x)有关=,x=7对称，类比命题2（2）可知f(）的一种周期是0 故(+10)=(x)（1)=f(）=0 又f(4）=f(0) 即在区间(0，10上,方程（x)=0至少两个根 又f（x）是周期为10的函数,每个周期上至少有两个根, 因此方程f(x）=0在区间1
13、0，000上至少有+=401个根.例1、 函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么=-f(x+4)与yf(6x)的图象之间（D )A有关直线x=5对称 .有关直线x=1对称有关点(5，0）对称 D.有关点（1,0）对称解:据复合函数的对称性知函数y=-f（)与y=f(6-x）之间有关点（(64)/2，0)即（,0）中心对称,故选。(原卷错选为）例2、 设(x)是定义在R上的偶函数,其图象有关=对称，证明(x)是周期函数。(理工类第2题)例3、 设f()是（-，）上的奇函数,f(x+2)()，当0x1时f(x）=x,则(7.)等于(-.5)(996年理工类第5题)例4、 设(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(1x)，（20-x)=f（0+),则f（x)是(C ）A偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是
