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1、第二讲 不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长 方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面 积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：B= 3+ S-SAnB）合并使用才能解决。例1如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图. 这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样， 因此它们的面积相 等.所
2、以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。解法2:将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边 上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法 3:将下面的半圆 从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示 .阴影部分的面积 是正方形的一半.例2如右图，正方形ABCD勺边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半 径在正方形内画圆，求阴影部分面积。解：由容斥原理S阴影 =S扇形ACB-|- S扇形ACD-S正方形ABCD冗7=y AB-AB4=乂4 x 2-4 A例3如右图，矩形 ABC时,AB= 6厘米，BO4厘米，扇形 ABEF彳全AE= 6厘 米，扇形C
3、BF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。解:S阴影=S扇形ABE+S扇形CBF-S矢巨形ABCD工一片江父6M f -x rx42 - 6*444二9乂 冗（36+16）-24=13兀-24=15 （平方厘米）（取兀=3） 例4如右图，直角三角形ABO, AB是圆的直径，且AB= 20厘米，如果阴影（I ） 的面积比阴影（H）的面积大 7平方厘米，求BC长。分析已知阴影（I）比阴影（R）的面积大 7平方厘米，就是半圆面积比三角 形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB= 20厘米，可以求出圆面积.半圆面 积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.20解士 EC
4、的长二114 X ()十2-71 X 2-20=（157-7） X2 + 20=15 （厘米）。例5如右图，两个正方形边长分别是 10厘米和6厘米，求阴影部分的面积LU0分析阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I ）的面积之差.而图中（I ）的面积等于边长为6的正方形面积减去J的以6为半径的圆的面积解：S阴影=S三角形ACB- （ S正方形BCD-S 扇形EBDxllO+6)X6*(6X6-； 乂兀 KS=48-9 （取兀=3） =39 （平方厘米）。例6如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60 ,此时AB到达AC的位 置，求阴影部分的面积（取九=3）.解：整个阴
5、影部分被线段 CM为I和R两部分，以AB为直径的半圆被弦 AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S,由于弓形AD是两个半圆的公共 部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即R=S,由于：I +S=60圆心角扇形ABC0积二阴影部分面积是1例7如右图，ABC此正方形，且FA=AD=DE=1求阴影部分的面积解：阴影M的面积+阴影N的面积=ZXBCD的面积=1. 阳影嫡面积=（正方形面积圆面积）xl42=lx （IX 1-1 X K X I2 ） 24=白；=：（取n =3）.阴影部分的总面积二;十;= I o o例8如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆
6、的 直径，且AB=BC=10求阴影部分面积（冗取 3.14）。解：.三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰 直角三角形ACE则ABC助正方形（利用对称性质）。. S阴影=(S正方形 ABCe+S半圆一SADE+ 2=(10X10 + n X 5310X 15)-2=( 100+39.25-75) +2= 64.25 +2= 32.125.总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的 组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决 .常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个
7、图形的面积 .例如，右图中，要求整个图形 的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相 加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则 图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再 减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形 面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2,高是4的三角形，其面积宜接可求为:；X2X4 = 4.7四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的 需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面
8、积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的 4个角处，这时采 用相减法就可求出其面积了 .五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线， 使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可 如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如 添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分 使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的 面积，只需把右边弓形切割下来补在左边， 这样整个阴影部分面积恰是正方形面 积的一半.七、平移法
9、：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置, 使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中 间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内， 这样整个阴影部分恰 是一个正方形。八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧， 从而组合成一个新的基本规则的图 形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转180 ,使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时 阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对
10、称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形， 从而得到一个新的基 本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部 分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD勺面 积的一半就是所求阴影部分的面积。十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部 分，然后运用“容斥原理” (SAU B= S- SB-SAO B)解决。例如，欲求右图中 阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的 面积恰好是两个扇形重叠的部分.S习题二一、填空题(根据图中所给的数据求阴影部分面积)2222解答题1.如右图，大圆的直径为
11、4厘米，求阴影部分的面积。2.如右图，大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米.求阴影部分的面积3 .如左图，三个同心圆的半径分别是 2、6、10,求B中阴影部分占大圆面 积的百分之几？4 .如右图，正方形 ABCM长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD BE、CR D劭半径画出扇形，求阴影部分的面积.5 .如下图（a）,求阴影部分的面积。6 .如下图（b）,把OA分成6个等分，以O为圆心画出六个扇形，已知最小 的扇形面积是10平方厘米，求阴影部分的面积。2228.如下图（b） 的面积.7 .如下图（a） , ABCg等腰直角三角形，直角边 AB=2厘米，BE BD分别 为以C、A为圆心
12、，BG AB为半径所作的弧.求阴影部分面积.,已知半径 OA=OB=OC=9沐，/ 1=/ 2=15 ,求阴影部分习题二解答一、填空题：1 .阴影部分等于正方形面积的一半，即 4.5 （平方单位）。2 .阴影部分等于三角形面积的一半，即 25 （平方单位）。3 .阴影部分等于一个小正方形的面积，即 1 （平方单位）。4阴影部分等于;圆的面积减去三角形面积，即冗（平方单位）o5 .阴影部分等于长是b、宽是a的矩形面积，即ab （平方单位）。6阴影部分等于半径为2的圆面积的J减去直角边是2的等腰直角三角形的面积，即!X冗X21X2+2二注.2 （平方单位）口A7阴影部分面积等于半圆面积臧去等腰直角
13、三角形的囱积,即:篮-J（平方单位）。8 .阴影部分面积等于正方形面积减去圆面积，即 100-25冗（平方单位）9 .阴影部分面积等于大半圆面积减去中和小两个半圆面积，即18冗-卷一学名（平方单位）， jlU!10 .阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆面积再减去一个直角三角形面积，即X 18冗一（2冗+4X4 + 2）=6冗方（平方单位）.11 .阴影部分面积等于两个半圆面积之和减去等腰直角三角形面积，即冗X3ix 6X6=-18 （平方单位）葭.阳影部分面积等于半圆面积，即:工笈*,=J笳C平方单位）o 日阴影部分面积等于4个半圆面积减去正方形面积，&P4xlx7rx5a -10X10=5
14、0兀-100 （平方单位）。14.阴影部分面积等于2个圆面积加上一个正方形面积，即2X冗X 42+82=32 九+64 （平方单位）。个大圆面积减去半个小圆面积，即擀（平方单位）立1 &阳影部分面积等于9个圆面积与以6为直角边的等腰直角三角形面 积差的一半，即J1/雷义=9%佟-1）（平方单世2 14212 J17 .阴影部分面积等于小半圆面积加中半圆面积减大半圆面积再加直角二角方面积,11+ x3 k4 x 3x4 = 622（平方单位）。18 .阴影部分面积等于;个以2为半径圆的面积加;个以殡半径圆的面积减长方形面积,即?-6 1平方单位）.19 .将左边阴影部分割补到右边，所以阴影部分就是这个平行四边形面积， 即2 （平方单位）.20 .扇形面积减去半个圆面积再减去三角形面积等于圆外阴影部分面积， 半圆面积减去三角形面积等于圆内阴影部分面积一上述两个结果的和是三包（平方单位），即为所求阴影部分的面积.或者用圆内两个弓形从下半圆割下，补 贴于圆内上半圆两侧阴影面积等于烟面积减却角线长为5的诬形（平方单位）.fl 2“ 5 51 25 尸 、面积=7 黑% X5 4 x TXTX =T (n z)21 .71 （平方单位）.阴影面积是以2为半径圆面积的1.22 .4 （平方单位）.阴
