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1、专题讲座：小学科学与数学的跨学科教学策略 李伟臣 北京市密云县教研中心 一、提高对数学的认识 数学是什么？它在人类生活中起着什么样的作用？最近在网上看到 1997年 7月人民日报上的一篇文章，感受颇多。现全文抄录于后。 数学撬起未来的杠杆 记者 毕全忠 人民日报（ 1 9 9 7 0 7 0 9 十版） 在众多的科学门类中，经常会出现“热门学科”，发出耀眼的光芒。日蚀、彗星的出现，使天文学成为人们关注的“热点”；物理学中超导现象的发现，曾引起人们的普遍注意，新闻媒体不断报道国内外研究的进展；电子技术冒出的计算机等新玩艺儿层出不穷，使人眼花缭乱；基因工程、克隆技术的发展，使生物学、医学、生命科学
2、几十年来一直为世人所瞩目 有一门学科，尽管它在各门学科的背后起着极重要的作用，可是它却总是没没无闻，那就是数学。 7 0 年代末、 8 0 年代初，新闻媒体曾大量报道过陈景润这位著名数学家的事迹，数学家们曾“风光”一时。然而，公众对数学本身仍不甚了解。 数学是什么呢？最近，记者走访了北京大学一批学者，请他们谈谈数学。 数学研究的领域涉及世界上一切事物。有人说，上帝是按照数学语言来创造世界的。 数学是什么？它在人类生活中起着什么样的作用？ 这个问题似乎很简单。按社会上普遍的理解，数学无非是加、减、乘、除，代数、几何。有些人还知道“哥德巴赫猜想”，以为这就是最高深的数学了。至于数学究竟有哪些用处，
3、很少有人说得清楚。听了北大数学教授们以下的谈论，就会强烈地感到，多么需要提高人们对数学的认识。 数学发展到今天，已是一门庞大的学科。它内部又分成分析数学、代数学、几何学三大部分。每个部分又包含一些分支学科。每个分支学科又分很多研究方向。那末，数学究竟是一门什么科学呢？一般人把它归入自然科学。而数学教授们认为，数学不属于自然科学。它是独立于自然科学、人文社会科学之外的一门科学，就像哲学不属于社会科学一样。各种科学都是抽象的，但是数学是最抽象的科学。 1 1 2 ，“ 1 ”是什么？“ 2 ”是什么？既不是一个人、两个人，也不是一个苹果、两个苹果，完全是一个抽象的数量概念。数学的抽象性也可与哲学相
4、比。正因为它高度抽象，所以适用的范围非常广泛，不限于自然界。 数学研究事物的数量关系和空间形式，是最基础的科学。数学可以解释其他科学，而其他科学却不能解释数学。外国曾有人说“上帝是按照数学语言来创造世界的”，意思是说数学研究的领域涉及到世界上的一切事物。教授们说，事实上，现在数学研究的对象已超出了事物的数量关系和空间形式。例如，数理逻辑与人工智能这些数学分支，所研究的既不是数量关系，也不是空间形式。 数学是人类理性思维的基本形式。只有理性思维才能产生重大突破。爱因斯坦运用数学思维推演出许多人们在日常生活中完全体验不到、不能理解的结论。他创立的相对论，大大打开了人们的眼界，使人们对宇宙的认识前进
5、了一大步。 以往，人类科学研究的方法主要是理论研究和实验两种，现在数学方法被广泛采用，成了第三种主要方法。数学方法往往是其他方法所不能代替的。例如银行确定存款利率，定得太高，银行要赔，定低了，就会减少储蓄。怎样确定存款利率，以取得最佳效益？理论研究不解决问题，也不能做实验，而用数学模拟的方法就能解决问题。 最抽象的数学催生出人类文明的绚烂花朵。恩格斯说，数学在一门科学中应用的程度，标志着这门科学的成熟程度 最抽象的数学，在人类社会发展中究竟起着什么作用呢？ E m c 2，是著名的爱因斯坦“质能公式”。本世纪初，爱因斯坦用数学语言表达了现代物理学的一个重要发现、重要思想。公式中的“ E ”是能
6、量，“ m ”是质量，“ c ”是光速。这个公式意味着原子核中蕴含着巨大的能量，显示了利用原子能的可能性和重要性。几十年后，人们使这个思想在技术上得以实现，于是，只需用 1 公斤铀的同位素，便可产生几百万吨 T N T 炸药爆炸所产生的能量，这就是原子弹。随后，便产生了核电站。现代核能技术，就是在这个数学公式的基础上建立起来的。这个例子典型地说明了数学对科学技术的发展、对人类生活所起的重大作用。 北大数学所所长张恭庆院士将数学的作用分为三个层次。第一个层次，是为其他学科提供语言、概念、思想、理论和方法。自然科学和像经济、管理等社会科学，离开了数学，便无从产生和发展。第二个层次是直接应用于工程技
7、术、生产活动，这类例子是大量的。第三个层次，是作为一种文化，对全社会的成员起着潜移默化的作用。一个民族数学修养的高低，对这个民族的文明有很大的影响。 近代、现代的许多重大科学发现和技术进步，往往是人们先用数学算出了它，然后才发现了它或造出了它。太阳系的两颗行星海王星和冥王星，就是先算出了它们的精确位置，然后才在那个位置发现它们的。今天的航天科学技术，开始于本世纪中叶。它的重要依据，却是 300年前牛顿算出来的。牛顿那时就算出，当人们把一个物体以每秒钟 8公里的速度抛出，它便会进入环绕地球的轨道运行而不会掉下来，这就是“第一宇宙速度”。再如，先有了麦克斯韦方程式，论证了电磁波及其应用的可能性，其
8、后赫兹才有可能做电磁波发射的实验，接着才会有本世纪电磁波声光信息传递的飞速发展。恩格斯在辑入自然辩证法一书中的一则札记中写道：“数学在一门科学中应用的程度，标志着这门科学成熟的程度。” 150年来，科学技术的发展，完全证实了恩格斯这句话。恩格斯在上述那句话后写道：“数学在生物学中的应用：等于零。”后来，数学也深深地长入了生物学。 1865年，孟德尔以数学模型研究遗传现象，预见了遗传基因的存在。多年后，人们发现了遗传基因的实际载体。 1953 年，科学家们提出了 DNA 分子的双螺旋结构。以后，人们又惊奇地发现，被认为是纯理论数学的拓扑学，竟然对 DNA 的研究起着极重要的作用。值得注意的是，自
9、本世纪以来，数学的力量变为可以加快应用科学的发展，再转化为推动产业化进程直至产生出人们能够使用的东西，其中的时间间隔正在变得越来越短。 数学是个宝库。从数学中产生出来的东西，具有高屋建瓴、压倒一切的气势。 谈论数学，必然要涉及电子计算机。计算机是数学与电子技术结合的产物。计算机的出现和应用，对数学的发展产生了巨大的影响。计算机为数学的应用开辟了极广阔的天地，数学对人类生活所具有的推动作用更大、更重要了。这种影响，现在只是开了个头。 很多问题，数学在理论上是可以算出来的，但计算量太大，靠人力实际上无法实现，现在应用计算机就可以很快算出来了。例如依据今天的气象数据预测明天的天气，有一套算法，但人工
10、计算要花 18年，用计算机很快就能算出来。现在的天气预报都是应用计算机才做出来的。计算机又反过来促进数学的发展。我国著名数学家吴文俊院士利用计算机来证明数学定理的成就，是国际闻名的。 北大计算机研究所所长王选院士说：“数学基础对从事计算机软硬件及应用系统的研究是十分重要的。对计算机的发展作出重要贡献的，几乎无一例外地都是学数学出身或有很好数学修养的人。数学的抽象化本领、严密的逻辑推理，是使他们取得成功的重要因素，而好的算法往往会大大改进系统的性能。 30年来我在从事逻辑设计、体系结构研究、软件设计和专用芯片设计过程中，深感在北大数学系得到的严格训练使我终生受益。” 正因为王选有深厚的数学基础，
11、才能提出开创性的“轮廓加参数”的方法描述高分辨率汉字字形，并用新的算法大幅度压缩信息，解决了传输速度的问题，从而跳过第二代、第三代激光照排机，直接研制成第四代激光照排系统。 70 年代中期，当王选提出用数学方法解决激光照排系统的关键技术问题时，很多人不相信他能成功，曾说他是“玩弄骗人的数字游戏”。如今，“数字游戏”已产生出一个大产业。 数学正越来越广泛地应用到人文科学、社会科学领域。世界上很多经济学家，常常是先获得了数学博士学位后才研究经济的。有人曾用概率统计法研究红楼梦作者的语言习惯，发现后四十回与前八十回是很一致的。说明曹雪芹曾创作了后四十回，至少留下了后四十回的部分手稿。前苏联曾有人对静
12、静的顿河一书的真正创作者提出过疑问。有人用概率统计法研究该书的用词习惯，发现与肖洛霍夫其他著作的习惯是一致的，因而认为此书确是他写的。 我们正处在“数学技术”的新时代。有报告认为：未来社会最好的工作和岗位，属于准备好了处理数学问题能力的人。近一二十年来，“高技术”一词越来越流行。近几年来，人们又越来越经常地提到“数字化”（准确地说，应叫“数码化”）、“信息时代”。究竟什么是高技术？高技术的关键和核心是什么？高技术与“数字化”、“信息化”是什么关系？ 数学教授们介绍说，美国国家研究委员会从 1984年起，向美国政府提出了四份关于美国数学和数学教育的报告。报告指出：高技术的出现把我们的社会推到了数
13、学技术的新时代，“很少有人认识到，被如此称颂的高技术，本质上是数学技术”。报告说：未来社会最好的工作和岗位，属于准备好了处理数学问题能力的人；数学已不单是一门学科，而且是重要的潜在资源；现今技术发达的社会里，扫除“数学盲”的任务已取代了扫除文盲的任务。 高技术的关键是软件，软件的核心是数学方法、数学技术。我们引进的外国高技术和产品，如果不掌握其中软件应用的数学方法和数学技术，就不能改造、创新，很快就落后。 北大数学学院院长姜伯驹院士说，高技术和信息化、数字化是联在一起的。数字化，就是把各种信息变成数字，成为离散的东西，便于应用代数的方法用计算机处理。同时运用数学方法进行信息压缩，就可以传输，然
14、后再还原。 已投入使用的波音 777飞机，被称为“百分之百”数字化设计的。过去设计新型飞机，必须对模型构件和样机反复作强度试验和在风洞里作空气动力学实验。稍有不妥，就必须改变设计，再做新一轮试验，研制周期长达十余年，要消耗大量材料、能源和时间。波音 777的设计采用了数字技术，所有的试验通过精确设定的数学模型在计算机中进行，探索和修改都通过数学指令去实现，只需最后作一些必须的试验就行了。因此，它的研制周期只有三年半。数学技术的效益是多么巨大！海湾战争，都说是高技术战争。美国人在总结海湾战争时说：“下个世纪的战争是数字化的战场。”其核心技术也是数学技术。解决电磁波通讯的干扰和失真是一大难题。早在
15、 60年代太空开发竞争的初期，美国就意识到这个难题了。美国人采用了信息数字化、纠错编码、数字滤波等一整套数学通讯和控制技术，才实现了“阿波罗”登月计划， 20年后，用到了海湾战争中。在短短数十秒钟内准确地拦截了对方发射的导弹，又能引导自己的导弹准确命中目标。也正是领先的数学技术，使美国在开发高清晰度电视的竞争中取得了压倒的优势。 数学教授们介绍，数学技术也在我国高技术产业中开始发挥重大作用。北大方正集团就有一批数学系毕业的青年人在工作。用北大技术研制的激光照排系统已占领了国内 99的报业市场、 90的书刊出版市场。北大方正还占领了 80的海外华文报业市场，日文版已进入日本市场。程民德、石青云两
16、位院士用数学方法研究指纹的拓扑结构，确定指纹走向的技术，居世界领先水平，正被越来越广泛地用于身份识别。公安部门利用这项技术，破案率大幅度提高。这项技术正在成为一个高技术产业。 数学是重要的潜在资源。学者们认定：更好地发挥数学的作用，我国的发展会更快。 在强调数学的重要作用的同时，教授们也向记者一再说明，数学不是万能的，它的作用的发挥和它自身的发展，也有赖于其他科学技术的发展。不过，数学确实有它的先导作用。现在的问题不是把数学的作用看得太大了，而是普遍认识不到数学的重要作用。 应当说，我国的数学教育水平、质量，从小学、中学到大学，在世界上是高的，比欧洲、美国强。数学研究方面，我们在一些点上的工作是出色的，有些方面居世界先进水平，但整体来说，还很落后，比欧洲、美国、日本差得多。教授们认为，从数学的应用看，第一个层
