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1、函数总复习 一、内容综述： 四种常见函数的图象和性质总结 图象 特殊点 性质 一 次 函 数 与x轴交点 与y轴交点（0，b） (1)当k0时，y随x的增大而增大； (2)当k0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限； (2)当k0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； (2) 当k0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-, y最小值=。 (2)当 a0时，向右平行移动|h|个单位；h0向上移动|k|个单位；k0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。 二、例题分析： 例1已
2、知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上。 分析：P(m, n)是图象上一点，说明P(m, n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m, n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m, n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。 解：P(m,n)在一
3、次函数y=-x+1的图象上， n=-m+1, m+n=1. 设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2, x12+x22=1, 又x1+x2=-m, x1x2=n, (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1 由解这个方程组得：或。 把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0, x2-3x+4=0, 0 点N（2，-1）， 把点N代入y=-,当x=2时，y=-3-1. 点N（2，-1）不在图象y=-上。 说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看
4、是否与x轴有两个交点。当m=-3, n=4时，0，所以二次函数与x轴无交点，与已知不符，应在解题过程中舍去。是否在y=-图象上，还需把点（2，-1）代入y=-，满足此函数解析式，点在图象上，否则点不在图象上。 例2直线 y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，若抛物线顶点到y轴的距离为2，求此抛物线的解析式。 分析：两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组，方程组的解既为交点坐标。 解：直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上， 由解这个方程组，得x=1. 当x=1时，y=-1. 当x=-1时，y=1. 经检验：，都是原方程的解。
5、设两交点为A、B，A（1，-1），B（-1，1）。 又抛物线顶点到y轴的距离为2， 抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2， 当对称轴为直线x=2时， 设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k，又过A（1，-1），B（-1，1）， 解方程组得 抛物线的解析式为y=(x-2)2- 即 y=x2-x-. 当对称轴为直线x=-2时，设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k, 则有解方程组得， 抛物线解析式为y=-(x+2)2+ y=-x2-x+. 所求抛物线解析式为：y=x2-x-或y=-x2-x+。 说明：在求直线和双曲线的交点时，需列出方程组，通过解方程组求出x, y值，双曲线的解析式为分式
6、方程，所以所求x, y值需检验。抛物线顶点到y轴距离为2，所以对称轴可在y轴左侧或右侧，所以要分类讨论，求出抛物线的两个解析式。 例3、已知MAN=30，在AM上有一动点B，作BCAN于C，设BC的长度为x，ABC的面积为y，试求y与x之间的函数关系式。 分析：求两个变量y与x之间的函数关系式，就是想办法用x表示y,，BC=x,则想办法先用含x的代数式表示AC。 解：如图 在RtABC中， A=30，BCA=90 BC=x， AC=BC=x 说明：在含有30、45、60的直角三角形中，应注意利用边之间的特殊倍数关系（如AC=BC）。 例4、如图，锐角三角形ABC的边长BC6，面积为12，P在A
7、B上，Q在AC上，且PQBC，正方形PQRS的边长为x，正方形PQRS与ABC的公共部分的面积为y。 （1）当SR恰落在BC上时，求x， （2）当SR在ABC外部时，求y与x间的函数关系式； （3）求y的最大值。 略解：（1）由已知，ABC的高AD=4。 APQABC，（如图一） 设AD与PQ交于点E (2)当SR在ABC的外部时， 同样有， 则，即AE= y=EDPQx（4-）=-2+4x（） （3）a=-0,y=-其中, 当x=3时,y取得最大值6. 说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,
8、要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内. 例5（ 潍坊市中考题）某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图一）作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。 （1）求该抛物线的解析式； （2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。 分析：图中给出了一些数量，并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系， 所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是 y轴，所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c. 解：（1）在如图所示坐标中，设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为（0,0.5），C
9、点坐标为（1，0）。 分别代入y=ax2+c得：，解得 抛物线的解析式为：y=-0.5x2+0.5 （2）分别过AC的五等分点，C1，C2，C3，C4，作x轴的垂线，交抛物线于B1，B2，B3，B4，则C1B1，C2B2，C3B3，C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C3，C4的坐标为（0.2，0）、(0.6,0)，则B3，B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6. 将x3=0.2和x4=0.6分别代入 y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32 由对称性得知，B1，B2点的纵坐标：y1=0.32,y2=0.48 四条立柱的长为：C1B1=C4B4=0.32（m） C2B2=C3B3=0.48（m） 所需不锈钢立柱的总长为 (0.32+0.48)250=80(m)。 答：所需不锈钢立柱的总长为80m。
