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1、三次 B 样条曲线插补算法的 VC 实现孔凡国,郝尚华,钟廷志（五邑大学 机电系，广东 江门 529020）摘要：结合三次B样条曲线的数学性质，理论分析了三次B样条曲线的插补过程，推 导出了三次B样条曲线的插补运算公式。在对三次B样条曲线进行研究的基础上，介绍三 次B样条曲线插补算法实现方法，并在VC环境中对B样条曲线的插补过程进行了实现， 实现了数控插补的动态运算。关键词：三次B样条；插补；VCVC Implement of the Cubic B-spline curveInterpolationKONG Fan-guo， HAO Shang-hua， ZHONG Ting-zhi(Dep
2、artment of Mechatronics， Wuyi University， Jiangmen 529020， China) Abstract：Combined with mathematics characters of the cubic B-spline curve, the interpolation process of the cubic B-spline curve is analyzed and calculation interpolation formula is deduced. Finally the cubic B-spline curve interpolat
3、ion operator is programmed under the platform of VC to realize dynamic simulation.Keyword：cubic B-spline； interpolation； VC在数控加工中用一小段直线或圆弧去拟合实际曲线，这种拟合方法就是“插补”。 它实 质上是根据有限的信息完成“数据密化”的工作。插补的计算方法和计算精度影响到整个数 控系统的精度和效率，因此插补算法对整个数控系统的性能指标至关重要，可以说插补是整 个数控系统控制软件的核心。1 三次 B 样条曲线插补原理B样条曲线是对Bezier曲线的改进，它不仅保留了Be
4、zier曲线的优点，而且具有局部 控制的能力，B样条曲线方程可为：给定n+1个控制点P.（i =0， 1， ，n），也称为特征多边形的顶点，k次（k+1阶）iB 样条曲线的表达式是：1）P(u)=工 P N (u)i i ,ki=0在上式中当k=3，i =0，1, 2, 3时，可得三次B样条曲线方程是: u 为由样条控制点确定的可变系数。P (u)仝 P N (u)0 u 1i i ,3i=0用矩阵形式可表示为：-13-3 13-630-30301 4 1 0u3u 2P0P1P2P32）0u1 (3)本文采用参数化数据采样插补原理来实现插补过程，其基本思想是：按照给定的采样周 期将时间轴分成
5、等间隔的小区间。插补过程中根据进给速度、加减速要求和允许误差，在各采样周期产生空间小直线段AL、AL、AL、去逼近被插补曲线，逐步求得所需的1 2 i各插补直线段端点P、P、P、的坐标值。1 2 i根据插补的思想可以知道，插补过程实际上是通过参变量u作为直接控制量，从而求得 插补点的坐标位置及插补点沿插补轨迹的移动速度等被控量的过程。2 三次 B 样条曲线插补算法设计 在插补过程的每一采样周期中，首先根据进给速度要求和允许误差求出轨迹空间中的插补直线段，然后将此直线段映射到参变量空间，得到与其相对应的参变量空间中的小直线段， 即参变量的增量值。进一步通过对参变量的积分求出参变量空间中的当前点坐
6、标。最后，求 取与参变量空间中当前点相对应的轨迹空间中的映射点，得到插补轨迹上的当前点的坐标 值。由于三次B样条曲线的各坐标分量均为参数u的函数可以直接计算。在每个插补周期T 内，有相等的微小增量九，即参数u的增量步长恒定，然后由公式计算得下一个插补点。 这种插补算法虽然计算简单，速度快，但其存在插补速度不恒速等缺点。要使得样条插补在轨迹空间内匀速，就必须要根据编程进给速度来确定一个插补周期内 的轮廓步长，然后将此参数映射到参数空间中，得到与其相对应的参数空间内的增量Pu。设V是样条曲线的切线速度矢量：dP(u) dP(u) du V =udt du dt设V是样条曲线的编程进给速度，则:dt
7、2dP(u)4du设控制系统的插补周期为t n=tu是关于t的函数，令u (t )二u，iiu(ti J二i+1，用泰勒级数将u叮在展开可得:duu u +i+1i dtt=ti/、1 d 2u(t -1) +i+1i 2 dt 2t=ti(t -t )2 +o(ut2) i+1i所以，插补递推公式的一阶近似为：u u u +i+1iV OTu =Uj4)二阶近似为：ui+1VOTV 2 OT 2/ dP(u) od 2 P(u)、.dudu 2 丿u =Uj2： dP(u)4du5)由于现在的数控系统插补周期T一般都很小，在曲线半径不太小的情况下，一阶近似迭 代求解已经可以满足精度要求。如果
8、曲线曲率半径很小，便要采用二阶近似。由于每个插补周期内的参数增量:6)_V OTO ui dP (u)iduu _uj是由编程进给速度和插补周期决定，在每一个插补周期中生成的轨迹空间的弦长是不变的 所以进给速度是不变的。3 程序流程根据上文的理论分析及公式推导，可按照图1 所示的流程设计程序。图 1 三次 B 样条曲线匀速插补算法流程图4 插补算法的 VC 程序实现 该程序主要用于演示在平面坐标系中三次 B 样条曲线的插补过程，以及速度控制的实 现。要求用户输入控制点点数、插补速度和插补周期，并在绘图区选择控制顶点。绘图区采 用 Windows 的默认坐标系，即左上角为原点（0 ， 0），向右
9、方向为 X 轴正方向，向下为 Y 轴正方向。程序运行后，首先根据输入的控制定点数，申请内存空间，并进行初始化，用于保存各 控制顶点信息，然后将鼠标选取的坐标点信息以此存放到申请的内存空间中，当最后一个点 选择完毕后，程序将按照前面输入的插补速度和插补周期，结合公式（3）、（6），计算出每 个插补周期的 u 的增量和小直线段的终点，以插补速度 V 匀速的绘制出所要求出的三次 B 样条曲线。（1）参数输入 在本程序中需要用户输入三个数据：控制点的数目、曲线的插补周期和插补速度，且控 制点数不能小于 4，插补速度和插补周期大于0。（2）程序运行 完成上述信息输入后，通过鼠标点击在绘图区选取给定个数的
10、控制点的坐标，程序将在最后一个点选取完成后自动按照给定速度，匀速的绘制出相应的三次B样条曲线。以10个 控制定点为例，绘制出的三次B样条曲线如图2所示：图 2 程序运行实例5 结论对过对三次 B 样条曲线的数学性质、三次 B 样条曲线插补过程的分析和研究，用 VC 实现了三次B样条曲线插补算法，实现过程中采用动态改变参数u的增量实现了插补的匀 速进行，该程序略加改动即可应用于简易数控系统。因此，对于更好地理解插补原理及工程 实践都有借鉴意义。参考文献：1 .周凯.PC数控原理、系统及应用M.北京：机械工业出版社，2006.9.2 .胡自化，张平.三次B样条曲线恒速进给实时插补算法的研究J.北京：制造技术与机床， 2000 (8).3 .周凯，陆启建.样条曲线采样插补技术J.大连:组合机床与自动化加工技术,1998 (4).4 .叶伯生，杨叔子.CNC系统中三次B-样条曲线的高速插补方法研究J.武汉：中国机械工程， 1998. 9(3).5 .施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条M.北京:北京航空航天大学出版，1994.
