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1、望子成龙学校秋季学案（9年级上） 勇于思考，让学习的桨划向成功！第3讲 二次函数“专项突破”一、知识要点1、二次函数的对称轴与最大值；二次函数的最值应用主要体现在以下方面：（1）解决实际问题中的最值问题；（2）探讨几何图形中相关元素的最值。2、发现构造相似三角形，运用面积公式是求几何图形中相关变量函数关系的基本工具，而确定自变量的取值范围是极其重要的一步，基本方法是：（1）解由相关量的非负性建立的不等式（组）；（2）考察极端位置。3、一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数的图象与x轴交于两点，顶点为C。（1）ABC是直角三角形的充要条件是：=；（2）ABC是等边三角形的充要条件是：=。二、考
2、点与典例剖析例1：（08重庆）（10分）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ。当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。例2：（苏州中考）如图，设抛物线与x轴交于两个不同的点A（-1,0）、B（m，0），与y轴交于点C，且ACB=90。（1）求m的值和抛物线的解析式；（2
3、）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似，求点P的坐标。（3）在（2）的条件下，求BDP的外接圆半径。 例3：（08广东深圳）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与
4、该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积. 例4：（08乐山）在平面直角坐标系中ABC的边AB在x轴上，且OAOB,以AB为直径的圆过点C，若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程的两根:(1) 求m，n的值(2) 若ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式ACOBNDML(3) 过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N
5、，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由三、中考链接与竞赛练习1、（1）（全国初中数学竞赛）在直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，若点A、B到原点的距离分别为OA，OB，且满足.则m的值为 。（2）（08海南竞赛）已知直线y=b（b为实数）与函数的图象至少有几个公共点，则实数b的取值范围是 。2、（浙江省竞赛题）已知二次函数（）的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0,4），且ac=b（1）求该二次函数的表达式；（2）将一次函数y=-3x的图象做适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求ABC的面积。2、（太远原竞赛题）已知二次函数的图
6、象是。（1）求关于点R（1,0）中心对称的图象的函数解析式；（2）设曲线，与y轴的交点分别为A,B，当|AB|=18时，求a的值。3、（08北京中考）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点交于点C，点B的坐标为（3,0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点。（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且OCA与OCD两角和的度数。四、家庭作业4、已知二次函数，其中a为正整数。（1）若函数y的图象与x轴相交于A,B两点，求线段AB的长。（2）若a依次取1,2，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为试求这2005条线段长之和。5、（全国联赛）已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为（1.，-2），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式|OC|=|OA|OB|。（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC的面积。1
