《二次函数最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数最值（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 二次函数最值内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法二次函数y=ax2+bx+c=a（x+）2+当a0时，抛物线开口向上，此时当x-时，y随x增大而增大；当x=-时，y取最小值当a0时，抛物线开口向下，此时当x-时，y随x增大而减小；当x=-时，y取最大值 2自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，要结合图象和增减性来综合考虑 （1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得 3实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求
2、法，先建模后求解例题剖析 例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=，则x2+y2+z2可取得的最小值为（ ） （A）3 （B） （C） （D）6 分析：设x-1=t，则x2+y2+z2可用只含t的代数式表示，通过配方求最小值 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t2+10t+6=14（t+）2+，所以最小值是 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会此外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法 例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则函数y=x2-x+的最小值是_ 分析：先将原函数配方，再求最值。解：y=x2-x+=（x-1
3、）2+（x+）-1 =（x-1）2+（）2+1 要求y的最小值，最好有（x-1）2=0且（）2=0，这时得到x=1 于是，当x=1时，y=x2-x+取最小值1 评注：函数y=x2-x+含有，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、最有效的方法仍然是配方法授课：XXX 例3 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4x-1的最小值是_ 分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，求二次函数最值问题 解：y=2（x+1）2-3= 其图象如 图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1答案：-1 评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，
4、再求极值 例4 设0x3，求函数y=f（x）=x2-2x-1的最值 分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=f（x）的图象然后用数形结合方法求函数y=f（x）的最值【解】：如图，先作抛物线y=x2-2x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=x2-2x-1的图象，对称轴是直线x=，方程x2-2x-1=0的两根是2由此可知，0与3位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为： f（）=|（）-2-1|=4， 而最小值为f（0），f（3）中较小者f（0）=1，f（）=6-81，最小值为1
5、评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象 例5 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值 分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手解：由=（-4m）2-42（2m2+3m-2）0得m，授课：XXXx1+x2=2m，x1x2=，x12+x22=2（m-）2+=2（-m）2+，m，-m-0， 从而当m=时，x+x取得最小值，且最小值为2（-）2+=评注：定义在某
6、一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得例6 求函数y=（4-x）+2的最值 分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值 解：设u=2-x，则u0，且y=4+u 于是（u+x）2=4（x2+9），即 3x2-2ux+36-u2=0xR，上式的判别式=（2u）2-43（36-u2）0， 即u227，故u3 y=4-x+2的最小值为4+3（当x=时取到） 评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由0即可求得u
7、的范围，从而求得y的最值这是一种常用的方法，应掌握 例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a-2，求（1）函数在-2xa的最小值；（2）函数在axa+2的最小值 分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解 解：函数y=x2-x-2的图象如图 （1）当-2a时，ymin=yx=a=a2-a-2；当a时，ymin= =- （2）当-2a且a+2，即-2a-时，ymin=yx=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当aa+2，即-a0，（-a-1）2-4a（3-2a）0，即（9a-1）（a-1）0，由于a是正整数，故a1， 所以
8、a2，又因为b+c=-3a+2-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c的最大值为-4 评注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法 例11 （2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a0，且=b-4ac，求b-4ac的最小值分析：由b2-4ac容易想到一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，授课：XXX且b2-4ac0，故可构造抛物线y=ax2+bx+c来解解：令y=ax2+bx+c，由a0，判别式=b2-4ac0，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线
9、，且与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），因为x1x2=0，不妨设x1x2，则x10x2，对称轴x=-0，于是x1=|=c， 所以c=-， 故b2-4ac4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立所以b2-4ac的最小值为4。 评注：有的给出的问题不是二次函数，但经过适当变形后，可以转化为二次函数的问题，我们要领会这种转化思想 例12 （2003年天津市竞赛题）已知函数y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小 分析：将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x=（a-2）+，因01，a-2a-1，故函数的最小值只可能在x
10、取a-2，a-1，时达到，所以，解决本例的关键在于分类讨论 解：y=（a+2）（x-）2+1-，其对称轴为x=（a-2）+ 因为a为正整数，故01，a-2a-1 因此，函数的最小值只可能在x取a-2，a-1，时达到（1）当=a-1时，a=1，此时，x=1使函数取得最小值（2）当a-2 1时，由于x是正整数，而为小数，故x=不能达到最小值 当x=a-2时，y=（a+2）（a-2）2-2（a2-1）（a-2）+1，当x=a-1时，y=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1y1-y2=4-a（i）当4-a0，即1a4且a为整数时，x取a-1，使y2为最小值；ii）当4-a=0时，即a=
11、4时，有y1=y2，此时x取2或3；（iii）当4-a4且为整数时，x取a-2，使y1为最小值 综上，x=（其中a为整数） 评注：求二次函数y=ax2+bx+c在给定范围的最值，关键是看对称轴方程是否在给定范围内，并与端点一并比较授课：XXX 例13 （1997年湖北省荆州市初中数学联赛试题）已知二次函数y=（a2-a+1）x2+bx+a的图象与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），其顶点横坐标为，设t=x13+x23 （1）试用a把t表示出来； （2）问实数a取何值时，t取最小值，最小值是多少？ 分析：应用一元二次方程根与系数关系可求出t的表达式；再通过根的判别式法求出t的最值 解：根据题意得 b=-（a2-a+1），x1+x2=1 此时，=b2-4（a2-a+1）=（a2-a+1）2-a（a2-a+1）=（a2-a+1）（a2-a+1）=（a-）2+（a-）2+0，a可取任意实数值1）t=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2）=1-3x1x2=1- （2）将t=变形，得 2（t-1）2a2+（3-2t）a+2（t-1）=0， 显然，当a=0时，t=1当t1时，a=（3-2t）2-42（t-1）2（t-1）0，即12t2-20t+70，
