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1、与三角形的内切圆有关的几个结论郑建元(浙江省余姚市实验学校315400)三角形与其内切圆是直线与圆位置关系的重要内容，运用切线、面积等知识可得到一些重要的结论，特别是当三角形是直角三角形时，结论尤为丰富.如果我们平时解题的时候，不满足于就题论题，而是向更深的层次去探究题目的内在规律.这样不仅可以培养创造思维能力，而且可以免受题海之困扰，从而大大提高学习效率.例1如图，在RtAABC中，ZC=90，BC=a，AC=b,AB=c,ABC的内心为O,OO与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，OO的半径为r.,ab-c求证：r=2证明：连接OE,OF.V0O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，.
2、ZOFC=ZOEC=90,AD=AF，BD=BE，CF=CE.又VZC=90四边形OECF是正方形,.CE=OE=r,.r=CE=ACBC-AB于是我们得到结论：“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半”1由于r=CE=(a+b+c)c,2r=a+bc,2于是上述结论又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差”或直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差”例2如图，在厶ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,ABC的内心为O,OO与AB,BC,CA分别相切于D、E、F,OO的半径为r.1求证:SAABC=2(a+b+c)r-证明：连接OE、OF、OD、OA、O
3、B、OC.V0O与AB,BC,CA分别相切于D、E、F,.OD丄AB,OE丄BC,OF丄AC,S=sABCBOC+S+S=(1AOCAAOB211ar+br+cr)=221B2(a+b+c)r.于是我们得到结论：“三角形面积等于它的半周长与内切圆半径的积.2S例5如图，O为厶ABC的内心，OE丄BC于E,且ABAC=2BEEC.求证:乙A=90.分析：由于O为AABC的内心，不妨作出厶ABC的内切圆，则由切线长定理和勾股定理逆定理可证.证明：设AABC的内切圆O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F，BE=x,CF=y,AD=乙.BD=BE=x,CE=CF=y,AF=AD=z.TABAC=2
4、BEEC，(x+z)(y+z)=2xy.AB2+AC2=(X+z)2+(y+z)2=(x+z)(y+z)2+2(x+z)(y+z)=(xy)2+4xy=(x+y)2=BC2EAZA=90练习=551.如图，AABC中，内切圆O和边AB、BC、CA分别相切于点F,若ZDEF，则ZA的度数为AD、E、第3题2.如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3,0)、(0，4)，则RtAABO内心的坐标是.3.如图，在RtABC中，ZC=90,AB=5,OO与RtABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,若OO的半径r=2,则RtABC的面积为.4. 若ABC的周长为18cm，面积为18cm2，则ABC的内切圆的半径为.5. 在RtABC中，ZC=90,OO与RtABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,若AD=5,BD=3,则RtABC的面积为答案：1.702.(1,1)3.144.25.15
