《近世代数知识点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数知识点（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、近世代数知识点第一章 基本概念1.1 集合l A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2 映射l 证明映射： l 单射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。l 满射：像集合中每个元素都有原像。Remark： 映射满足结合律！1.3 卡氏积与代数运算l （a,b）aA,bB 此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.l 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。1.4 等价关系与集合的分类 等价关系：1 自反性：aA,aa; 2 对称性：a,bR, ab=baR; 3 传递性：a,b,cR,ab,bc =acR.Remark：对称+传递自反 一个等
2、价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 不同的等价类互不相交，一般等价类用a表示。第二章 群2.1 半群1. 半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即ab=ba,则称为交换半群。2. 单位元i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。iii. 在有单位元的半群中，规定a0=e.3. 逆元i. 在有单
3、位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。ii. 逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。iii. 若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。4. 子半群i. 设S是半群，TS,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii. T是S的子半群a,bT,有abT2.2 群 1群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元 Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群. ii. 加群=代数运算为加法+交换群 iii.单位根群Um= m=1,数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域
4、P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p). 2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元 =代数运算+结合律+单位元+逆元 =代数运算+结合律+a,bG,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律 ii.设G是群，则a,bG,ax=b,ya=b在G中有唯一解 iii. e是G单位元 e2=e iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群 4. 群的阶 群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。若为无限群，则=。 Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群 ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群 2.3元素的阶 1. 定义：设G是一个群，aG,使得
5、am=e成立的最小正整数m称为元素a的阶，记作=m;若m不存在，则 2. 阶的性质 G是一个群，aG,=m,i. an=emn;ii. ah=akm;iii. e=a0,a1,a2,am-1两两不同；iv. rZ,ar=Remark: i. rZ,ar=m(m,r)=1; ii.若m=st,s,tN,则as=t. ，i. an=en=0;ii. ah=ak;iii. a-2,a-1,a0,a1,a2两两不等iv. rZ0,ar=. Remark:a,b,ab？l 定理：有限群中的元素的阶均有限。Remark：定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有限群，例如n次单位根群。单位
6、根群是一个无限交换群。 3. 循环群 定义：设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。记G=(a).Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。l 定理：设G=（a）是一个循环群，（1） 若,则G是含m个元素的有限群，且G=a0,a1,a2am-1；（2） 若，则G是无限群，且G=a-2,a-1,a0,a1,a2.l 定理：设G=（a）是一个循环群，（1） 若,则G有(m)个生成元：ar ,(r,m)=1（2） 若，则G有两个生成元：a,a-1（3） 若,ar是G的生成元ar=m;（4） 设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成元：a,a2ap-1Remark：(m)表示小于m，且与m互素的非负整数的个数素数阶群一定是循环群。l 定理：设G是m阶群,则 G是循环群G有m阶元2.4 子群 定义：设G是半群，HG,若H对G的运算构成群，则称H是G的子群，记为HG.1. 子群的性质（1） 传递性：HK，KG，则HG;（2） 保单位元：设HG，aH,则eH=eG;（3） 保逆元：设HG，aH,则a-1H=a-1G. 定理：设G是半群，HG, HGa,bH,有ab,a-1Ha,bH,ab-1H
