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1、 . 第一篇、复合函数问题一、复合函数定义:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,假设AB,那么y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.二、复合函数定义域问题:一例题剖析:(1)、的定义域,求的定义域思路:设函数的定义域为D,即,所以的作用围为D,又f对作用,作用围不变,所以,解得,E为的定义域。例1.设函数的定义域为0,1,那么函数的定义域为_。解析:函数的定义域为0,1即,所以的作用围为0,1又f对lnx作用,作用围不变,所以解得,故函数的定义域为1,e例2. 假设函数,那么函数的定义域为_。解析:先求f的作用围,由,知即f的作用围为,又f对f(x)
2、作用所以,即中x应满足即,解得故函数的定义域为2、的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,所以f的作用围为E,又f对x作用,作用围不变,所以为的定义域。例3. 的定义域为,那么函数的定义域为_。解析:的定义域为,即,由此得所以f的作用围为,又f对x作用,作用围不变,所以即函数的定义域为例4. ,那么函数的定义域为_。解析:先求f的作用围,由,知解得,f的作用围为,又f对x作用,作用围不变,所以,即的定义域为3、的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,的作用围为E,又f对作用,作用围不变,所以,解得,F为的定义域。例5. 假设函数的定义域为,那么的定义域为_。解析:的
3、定义域为,即,由此得的作用围为又f对作用,所以,解得即的定义域为评注:函数定义域是自变量x的取值围用集合或区间表示f对谁作用,那么谁的围是f的作用围,f的作用对象可以变,但f的作用围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫的感觉,值得大家探讨。二同步练习:1、函数的定义域为,求函数的定义域。答案:2、函数的定义域为,求的定义域。答案:3、函数的定义域为,求的定义域。答案:4、设,那么的定义域为 A. B.C.D.解:选C.由得,的定义域为。故,解得。故的定义域为5、函数的定义域为,求的定义域。解析由,有1当时,定义域为;2当,即时,有,定义域为;3当,即时,有,定义域为.故当时
4、,定义域为;当时,定义域为点评对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进展讨论,要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题1引理证明函数.假设在区间上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间上是增函数.证明:在区间任取两个数,使因为在区间上是减函数,所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,故函数在区间上是增函数.2复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减或“同增异减.3、复合函数的单调
5、性判断步骤: 确定函数的定义域; 将复合函数分解成两个简单函数:与。 分别确定分解成的两个函数的单调性; 假设两个函数在对应的区间上的单调性一样即都是增函数,或都是减函数,那么复合后的函数为增函数; 假设两个函数在对应的区间上的单调性相异即一个是增函数,而另一个是减函数,那么复合后的函数为减函数。4例题演练例1、 求函数的单调区间,并用单调定义给予证明解:定义域 单调减区间是设 那么 = 又底数 即 在上是减函数同理可证:在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为那么当时,假设,为增函数,为增函数.假设,为减函数.为减函数。当时,假设,那么为减函数,假设,那么为增函数.例3、.y
6、=(2-)在0,1上是x的减函数,求a的取值围.解:a0且a1当a1时,函数t=2-0是减函数由y= (2-)在0,1上x的减函数,知y=t是增函数,a1由x0,1时,2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0,1上x的减函数,知y=t是减函数,0a1由x0,1时,2-2-10, 0a1综上述,0a1或1a2例4、函数为负整数的图象经过点,设.问是否存在实数使得在区间上是减函数,且在区间上是减函数?并证明你的结论。解析由,得,其中即,解得为负整数,即,假设存在实数,使得满足条件,设,当时,为减函数,,当时, 增函数,.由、可知,故存在5同步练习:1函数yx23x2的单调递
7、减区间是A,1B2,C,D,解析:先求函数定义域为o,12,令txx23x2,函数tx在,1上单调递减,在2,上单调递增,根据复合函数同增异减的原那么,函数yx23x2在2,上单调递减答案:B2找出以下函数的单调区间.1;2答案:(1)在上是增函数,在上是减函数。2单调增区间是,减区间是。3、讨论的单调性。答案:时为增函数,时,为增函数。4求函数yx25x4的定义域、值域和单调区间解:由xx25x40,解得x4或x1,所以x,14,当x,14,x25x4R,所以函数的值域是R因为函数yx25x4是由yx与xx25x4复合而成,函数yx在其定义域上是单调递减的,函数xx25x4在,上为减函数,在
8、,上为增函数考虑到函数的定义域与复合函数单调性,yx25x4的增区间是定义域使yx为减函数、xx25x4也为减函数的区间,即,1;yx25x4的减区间是定义域使yx为减函数、xx25x4为增函数的区间,即4,变式练习一、选择题1函数fx的定义域是A1,B2,C,2D解析:要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,所以解得1x2答案:D2函数yx23x2的单调递减区间是A,1B2,C,D,解析:先求函数定义域为o,12,令txx23x2,函数tx在,1上单调递减,在2,上单调递增,根据复合函数同增异减的原那么,函数yx23x2在2,上单调递减答案:B3假设2x2yxy,那么的值为A4
9、B1或C1或4D错解:由2x2yxy,得x2y2xy,解得x4y或xy,那么有或1答案:选B正解:上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x2y0,所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案:D4假设定义在区间1,0的函数fxx1满足fx0,那么a的取值围为A0,B0,1C,D0,解析:因为x1,0,所以x10,1当fx0时,根据图象只有02al,解得0a根据本节思维过程中第四条提到的性质答案:A5函数y1的图象关于Ay轴对称Bx轴对称C原点对称D直线yx对称解析:y1,所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数答案:C二、填空题y2ax在0,1上是x的减函数,那么a的取值围是_解析:a0且a1x2ax是减
10、函数,要使y2ax是减函数,那么a1,又2ax0a0x1a2,所以a1,2答案:a1,27函数fx的图象与gxx的图象关于直线yx对称,那么f2xx2的单调递减区间为_解析:因为fx与gx互为反函数,所以fxx那么f2xx22xx2,令x2xx20,解得0x2x2xx2在0,1上单调递增,那么fx在0,1上单调递减;x2xx2在1,2上单调递减,那么fx在1,2上单调递增所以f2xx2的单调递减区间为0,1答案:0,18定义域为R的偶函数fx在0,上是增函数,且f0,那么不等式flog4x0的解集是_解析:因为fx是偶函数,所以ff0又fx在0,上是增函数,所以fx在,0上是减函数所以flog
11、4x0log4x或log4x解得x2或0x答案:x2或0x三、解答题9求函数yx25x4的定义域、值域和单调区间解:由xx25x40,解得x4或x1,所以x,14,当x,14,x25x4R,所以函数的值域是R因为函数yx25x4是由yx与xx25x4复合而成,函数yx在其定义域上是单调递减的,函数xx25x4在,上为减函数,在,上为增函数考虑到函数的定义域与复合函数单调性,yx25x4的增区间是定义域使yx为减函数、xx25x4也为减函数的区间,即,1;yx25x4的减区间是定义域使yx为减函数、xx25x4为增函数的区间,即4,10设函数fx,1求函数fx的定义域;2判断函数fx的单调性,并给出证明;3函数fx的反函数f1x,问函数yf1x的图象与x轴有交点吗?假设有,求出交点坐标;假设无交点,说明理由解:1由3x50且0,解得x且x取交集得x2令x,随着x增大,函数值减小,所以在定义域是减函数;1随着x增大,函数值减小,所以在定义域是减函数又ylgx在定义域是增函数,根据复合单调性可知,y是减函数,所以fx是减函数3因为直接求fx的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之