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1、 . 第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，假设AB，那么y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：一例题剖析：(1)、的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用围为D，又f对作用，作用围不变，所以，解得，E为的定义域。例1.设函数的定义域为0，1，那么函数的定义域为_。解析：函数的定义域为0，1即，所以的作用围为0，1又f对lnx作用，作用围不变，所以解得，故函数的定义域为1，e例2. 假设函数，那么函数的定义域为_。解析：先求f的作用围，由，知即f的作用围为，又f对f(x)
2、作用所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为2、的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用围为E，又f对x作用，作用围不变，所以为的定义域。例3. 的定义域为，那么函数的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用围为，又f对x作用，作用围不变，所以即函数的定义域为例4. ，那么函数的定义域为_。解析：先求f的作用围，由，知解得，f的作用围为，又f对x作用，作用围不变，所以，即的定义域为3、的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用围为E，又f对作用，作用围不变，所以，解得，F为的定义域。例5. 假设函数的定义域为，那么的定义域为_。解析：的
3、定义域为，即，由此得的作用围为又f对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x的取值围用集合或区间表示f对谁作用，那么谁的围是f的作用围，f的作用对象可以变，但f的作用围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫的感觉，值得大家探讨。二同步练习：1、函数的定义域为，求函数的定义域。答案：2、函数的定义域为，求的定义域。答案：3、函数的定义域为，求的定义域。答案：4、设，那么的定义域为 A. B.C.D.解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为5、函数的定义域为，求的定义域。解析由，有1当时，定义域为；2当，即时，有，定义域为；3当，即时，有，定义域为.故当时
4、，定义域为；当时，定义域为点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进展讨论，要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题1引理证明函数.假设在区间上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间上是增函数.证明：在区间任取两个数，使因为在区间上是减函数，所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间上是增函数.2复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减或“同增异减.3、复合函数的单调
5、性判断步骤： 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数：与。 分别确定分解成的两个函数的单调性； 假设两个函数在对应的区间上的单调性一样即都是增函数，或都是减函数，那么复合后的函数为增函数； 假设两个函数在对应的区间上的单调性相异即一个是增函数，而另一个是减函数，那么复合后的函数为减函数。4例题演练例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 单调减区间是设 那么 = 又底数 即 在上是减函数同理可证：在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为那么当时，假设，为增函数，为增函数.假设，为减函数.为减函数。当时，假设，那么为减函数，假设，那么为增函数.例3、.y
6、=(2-)在0，1上是x的减函数，求a的取值围.解：a0且a1当a1时，函数t=2-0是减函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是增函数，a1由x0，1时，2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是减函数，0a1由x0，1时，2-2-10, 0a1综上述，0a1或1a2例4、函数为负整数的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。解析由，得，其中即，解得为负整数，即，假设存在实数，使得满足条件，设，当时，为减函数，,当时, 增函数,.由、可知，故存在5同步练习：1函数yx23x2的单调递
7、减区间是A，1B2，C，D，解析：先求函数定义域为o，12，令txx23x2，函数tx在，1上单调递减，在2，上单调递增，根据复合函数同增异减的原那么，函数yx23x2在2，上单调递减答案：B2找出以下函数的单调区间.1；2答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。2单调增区间是，减区间是。3、讨论的单调性。答案：时为增函数，时，为增函数。4求函数yx25x4的定义域、值域和单调区间解：由xx25x40，解得x4或x1，所以x，14，当x，14，x25x4R，所以函数的值域是R因为函数yx25x4是由yx与xx25x4复合而成，函数yx在其定义域上是单调递减的，函数xx25x4在，上为减函数，在
8、，上为增函数考虑到函数的定义域与复合函数单调性，yx25x4的增区间是定义域使yx为减函数、xx25x4也为减函数的区间，即，1；yx25x4的减区间是定义域使yx为减函数、xx25x4为增函数的区间，即4，变式练习一、选择题1函数fx的定义域是A1，B2，C，2D解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1x2答案：D2函数yx23x2的单调递减区间是A，1B2，C，D，解析：先求函数定义域为o，12，令txx23x2，函数tx在，1上单调递减，在2，上单调递增，根据复合函数同增异减的原那么，函数yx23x2在2，上单调递减答案：B3假设2x2yxy，那么的值为A4
9、B1或C1或4D错解：由2x2yxy，得x2y2xy，解得x4y或xy，那么有或1答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案：D4假设定义在区间1，0的函数fxx1满足fx0，那么a的取值围为A0，B0，1C，D0，解析：因为x1，0，所以x10，1当fx0时，根据图象只有02al，解得0a根据本节思维过程中第四条提到的性质答案：A5函数y1的图象关于Ay轴对称Bx轴对称C原点对称D直线yx对称解析：y1，所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数答案：C二、填空题y2ax在0，1上是x的减函数，那么a的取值围是_解析：a0且a1x2ax是减
10、函数，要使y2ax是减函数，那么a1，又2ax0a0x1a2，所以a1，2答案：a1，27函数fx的图象与gxx的图象关于直线yx对称，那么f2xx2的单调递减区间为_解析：因为fx与gx互为反函数，所以fxx那么f2xx22xx2，令x2xx20，解得0x2x2xx2在0，1上单调递增，那么fx在0，1上单调递减；x2xx2在1，2上单调递减，那么fx在1，2上单调递增所以f2xx2的单调递减区间为0，1答案：0，18定义域为R的偶函数fx在0，上是增函数，且f0，那么不等式flog4x0的解集是_解析：因为fx是偶函数，所以ff0又fx在0，上是增函数，所以fx在，0上是减函数所以flog
11、4x0log4x或log4x解得x2或0x答案：x2或0x三、解答题9求函数yx25x4的定义域、值域和单调区间解：由xx25x40，解得x4或x1，所以x，14，当x，14，x25x4R，所以函数的值域是R因为函数yx25x4是由yx与xx25x4复合而成，函数yx在其定义域上是单调递减的，函数xx25x4在，上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域与复合函数单调性，yx25x4的增区间是定义域使yx为减函数、xx25x4也为减函数的区间，即，1；yx25x4的减区间是定义域使yx为减函数、xx25x4为增函数的区间，即4，10设函数fx，1求函数fx的定义域；2判断函数fx的单调性，并给出证明；3函数fx的反函数f1x，问函数yf1x的图象与x轴有交点吗?假设有，求出交点坐标；假设无交点，说明理由解：1由3x50且0，解得x且x取交集得x2令x，随着x增大，函数值减小，所以在定义域是减函数；1随着x增大，函数值减小，所以在定义域是减函数又ylgx在定义域是增函数，根据复合单调性可知，y是减函数，所以fx是减函数3因为直接求fx的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之
