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1、第3讲导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。3.1 导数的概念一、函数的变化率对于函数y = f(x),我们要研究y怎样随x变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图我们可以看出，对于相同的自变量的改变量Ax ,所对应的函数改变量Ay是不同的。” 可以表示变化的速率，但这是一个平均速x率，怎样考虑函数y= f(x)在一点x0的变化率呢？二、导数的概念根据前面的介绍，我们给出下面的定义。定义3.1设函数y = f(x)在点x。及其某个邻域U内有定义，对应于自变量x在x。处的改变量x ,函数相应的改变量为Ay
2、= f (x0 +Ax) - f (x0),如果当Axt 0时极限存在，则此极限值称为函数y = f(x)在点孔处的导数，或在点x。处函数f(x)关于自变量x的变化 率，记作y(x。)，或 f (x。)这时，称函数y = f(x)在点x。处是可导的。根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。例1根据导数定义求y =c在点x处的导数。解根据定义求导数通常分三步：(I )求 Ay = f (x。+Ax) - f (x。)：(n)求 a ：x(田)求 lim a ： x Q x因此得出y(x)=。如果函数f(x)在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数f(x),称f(x)为f(x)
3、的导函数。f (x)在点x =x。的函数值f(x。)就是f(x)在点x=x。的导数。例2根据导数定义求f(x)=x2在点x处的导数。解按照由定义求导数的步骤：因此得出f(x)=2x。例3根据导数定义求f(x)=xn (n为自然数)在点x处的导数。解按照由定义求导数的步骤：因此得出f(x)=nxn。可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。例4根据导数定义求“*)=工在点*处的导数。x解按照由定义求导数的步骤：因此得出(x) = 4。这个结果可以写成(x,) = (-1)x。 x例5根据导数定义求f(x) = 4x在点x处的导数。解按照由定义求导数的步骤:1112因此得出f(x)=。这个结果可以写
4、成(x2)=1x22 x21从这两个例子可以看出公式(x ) = nx 不仅在n为自然数时成立，而且当n =-1和n =一时也成立。 2因此我们不妨认为对任意实数 支，有他二)=03。下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子，为此先给出第2个重要极限的另一种形的另一种形式是另外，记称为自然对数。例6根据导数定义求f (x) =ln x在点x处的导数。解按照由定义求导数的步骤：注意到，当Axt 0时有包t 0,设包=t,第2个重要极限公式有 xx且f (x) = ln x是连续函数,所以有因此得出f (x)=1。x例7根据导数定义求f(x)=sinx在点x处的导数。解按照由定义求导数的
5、步骤：注意到，当ZxT 0时有St 0,设包=t,据第1个重要极限公式有 且f (x) =cosx是连续函数，所以有 因此得出f (x) = cosx。下面我们给出基本初等函数的导数公式三、导数的几何意义 从下面这个图中我们可以看出，函数y = f (x)在点X0处的导数f(Xo),就是函数曲线y = f (x)在过点(Xo , f(Xo)处 的切线的斜率。这样便可得到切线的方程例8求函数f(x) =sinx在点(,i3)处的切线方程。 3 2解(x) =cosx ,所以f ()=cos=10由此得切线方程；一332口门 1V3 冗即 y = x +o226定理3.1若函数y=f(x)在点xo
6、处可导，则y = f(x)在xo连续。 证由于由定理2.1 ,有其中a是无穷小量。上式可写成 由此得定理3.1的结论是不可逆的，例如函数 y =|x|在点x =0连续，但在该点不可导。3.2 求导法一、导数的四则运算法则我们可以看出，由定义求导是很复杂的，有了基本导数公式后也并未使求导的范围扩大多少， 为此我们给出下面的运算法则：设函数f (x)和g(x)在点x处可导，则有上述公式我们称为 导数的四则运算法则。根据第3个公式还可以得到，若函数f(x)在点x处可导， S. I c为任意常数，则有对于导数的四则运算法则，我们仅就加法和乘法法则加以验证： 因为所以即f(x) g(x) = f (x)
7、 g (x)又因为所以即f (x) g(x) = f (x)g(x) f (x)g (x)例9求下列函数的导数y:(1) y = ex cosx + ln x y = x4 - 2x sin xxtan x 5 y 二2一x解利用导数四则运算法则和基本导数公式进行计算: y = (excosx) (ln x) y=(x4) (2xsinx)(tanx 5x)x2-(tanx 5x)(x2)/ 22(x )二、复合函数导求导法则有了导数四则运算法则以后，可以求导的函数类型被大大地扩充了。但仍有我们无法解决的类、，2型，如y=e , y=lnsinx等函数。定理3.5设函数y = f(u) , u
8、 = g(x),且g(x)在点x处可导，y = f (u)在相应的点u处可导， 口 二一. /I 4 I ; I I I则复合函数y = f (g(x)在点x处可导，且2_ 1 W /简单验证这个定理。由于y = f(u)在点u处可导，则在点u处连续，因此有mAu =。故有由导数定义得到称定理3.5为复合函数求导法则，也称为链锁法则。例10求下列函数的导数y:x2 y =e y = ln sin x y =sin x2 y = cos2 x解利用复合函数求导法则进行计算： Y I设u = x2,有y =eu设 u =sinx ,有 y =ln u设 u = x2,有 y = sin u设 u
9、=cosx ,有 y = u2例 11 设 y =x (a w R),求 y 。解因为设u=c(lnx,有丫=3:由复合函数求导法则得三、隐函数导求导法在下面的方程中y的值可以随着x的值而确定，即y是x的函数。但y无法表示成x的表达式，这种函数关系称为 隐函数。例12由方程sin(xy) ln(x+y) =0所确定白向函数y = y(x),求y解等式两端同时对自变量x求导，左端：sin( xy) -ln(x y)=sin( xy)：-ln( x y)右端：(01 = 0由此得解出y ,得例13设丫=2求y。解由已知条件可得等式两端同时对自变量x求导，, 4 I ： ；左端：(x)=1右端：(l
10、oga y)r=1一(y) = yl ；.,.y ln a y In a由此得解出y,得例 14设 y =arcsin x ,求 y。解由已知条件可得U 二 等式两端同时对自变量x求导，左端:(x) =1 A . 、 k _ p.% J i f Y I右端：(sin y) = cosy (y) = y cosy由此得解出y ,得例 15 设 y =arctanx，求 y 二解由已知条件可得等式两端同时对自变量x求导，左端：(x) =1右端：(tan y): 一 (y)= -cos y cos y由此得解出y ,得3.3 微分一、微分的概念在前面的讨论中，对于函数y = f(x),我们经常遇到函
11、数的改变量，也就是从上式的右端看函数的改变量 Ay是自变量改变量Ax的函数，这种函数关系一般来说是复杂的，能否将这种复杂的关系用简单的关系来近似呢？结论是在可导的情况下是可以的，因为此时有即称f (x0)Ax为函数f (x)在点x0处的微分,记为dy o即 L Idy = f (x0)Ax 或dy = yAx例16求下列函数的微分dy:(1) y =sin x y =ln x ,II I, I S* l , 1.产工.、. T f Jr y = x2 y = x解利用微分定义式dy = yax：(2) dy = dsin x = (sin x) lx =cosxlx1 dy =dlnx = (
12、In x) ：x = xxI I(3) dy =dx2 =(x2) lx =2x，x(4) dy = dx = (x)x = x由的结果得到dx=Ax。因此微分又可记为dy = f (x0)dx 或 dy = y dx根据上式，导数的符号又可记为业=f1(xo3 = y，dx x.dx微分的几何意义由下面的图形可以看出二、微分的运算法则微分的运算与导数运算关系密切，与导数运算类似，微分也有四则运算法则及 dcf (x) =cdf (x)三、一阶微分形式不变性如果函数y = f (u),U=g(x),且g(x)在点x处可导，y = f (u)在相应的点u处可导，那么对于复合函数y = f (g(
13、x)在点x的微分dy就有两种表达方式，即形式上看以上两种表示之间似乎存在区别，进一步看 以上结果称为一阶微分形式不变性。例 17 设 y =2lnsinx2 ,求 y，。解利用一阶微分形式不变性得由此得例18由方程sin(xy) =ln(x + y)所确定白函数y = y(x),求y，。解利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，等式两端分别求微分得左端:dsin(xy) = cos(xy)d(xy)d (x y)dx dy右腕：dln( x y)x y x y由此得整理得注意到本例的结果与例12是相同的。3.4 高阶导数.在本章的开始，我们曾提到如果函数f(x)在其定义域内每一点都可导，那么我们
14、就得到了一个新的函数f(x),称f (x)为f(x)的导函数(或一阶导函数)。若f(x)在点x = x。处可导，即存在，则称此极限为f(x)在点x = xo处的二阶导数，记为，d2yf (x0)或 y (xo)或一2dx x-o就是说 Y I仿此我们可以定义函数y = f (x)的n阶导数，并记为f(x)或y或d-ydx例 17 设 y=lnx,求 y。解利用基本导数公式得第4讲导数应用在这一讲中，我们要进一步应用导数这一工具来研究函数的性质。4.1 中值定理下面介绍的这个定理是第4章中的一个核心定理，本章几乎所有结论都围绕它而产生。定理4.2 (拉格朗日(Lagrange)定理)设f (x)在闭区间a, b上连续，在开区间(a,b)内可导，则在a, b内至少存在一点%使得一、f(b)-f(a)hf (-)=-, a - bb -a对拉格朗日定理，我们利用下面的图形加以说明这里需要指出，定理中的条件是不可缺少的。以下经常将此定理叙述为如下形式：设 f(x)在开区间(a, b)内可导，xw(a,b),对任意xw(a,b),则介于x与x0之间至少存在一
