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1、圆锥曲线中重点问题的求解策略与方法尹建堂圆锥曲线中的几个重点问题久考不衰， 且常考常新，因此，掌握其求解的基本策 略与方法是至关重要的。求曲线方程问题 求曲线方程问题的基本形式有两种：一是已知曲线的形状与位置关系求曲线方 程，即通常所说的“求曲线方程”问题，求解的基本策略是：根据题设的“定位” 条件，合理选择曲线方程形式，根据“定量”条件利用待定系数法建立关于特征 参数（a、b、c、e、p）的方程（组），解出有关参数，得到所求曲线方程。二 是题设条件给出了点的运动规律，但难以判断曲线类型和方程的具体形式， 即通 常所说的“求轨迹方程”问题，求解的基本策略是：分析清楚动点运动的基本规 律（动点所
2、满足的几何条件），把该条件坐标化，使条件坐标化的常用方法有定 义法、直接法、代点法、转移法、参数法、向量法等。y2 = 0）例1.如图1所示，抛物线_的准线和焦点分别是双曲线的右准线和右焦点，直线V* 与抛物线及双曲线在第一象限分别交于 A、B两点, 且A为OB中点。（1）当近时，求双曲线渐近线的斜率;2）在（1）的条件下，若双曲线的一条渐近线在 y轴上截距为，求抛物 线和双曲线方程。分析:，故需求出e；（2）由题意知双曲线方程为根据已知条件利用特征参数a、b、c、p的关系可获解y= r俊y2 =券仗十耳）rr-_gp|解：（1）由I2 ,得点A（p, V初）或A（33）由A是OB的中点，得点
3、B （2p，八）则|0纠二J（2p）十住屁），二4p，且点b到准线z -戸的距离为d = 3p由离心率及双曲线定义，得：（2）依题意设双曲线方程为，则双曲线的一条渐近线方程为-双曲线的半焦距c= 4，由渐近线在y轴上截距为，得1 一，从而知近 a 3 (7=4 c - a，得所求双曲线方程为所求抛物线方程为28评注：圆锥曲线中的特征参数 a、b、c、e、p （焦点到相应准线的距离）及其间的关系： J （椭圆取“ + ”，双曲线取“一”），反映了圆锥曲线的本质属性，且与坐标系的选取无关，在解决圆锥曲线的诸多问题 中起着十分重要的作用。直线与圆锥曲线位置关系问题求解的基本策略是，将其转化为直线与圆
4、锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公 式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为 重要的作用。例2.直线尸也+ 1与双曲线泞-yi相交于不同两点A B（1）以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值。（2）是否存在k，使A B两点关于直线一 -二对称？若存在，求出k值；若不 存在，请说明理由。分析：（1）所给圆过原点的条件为血|（C为ab中点），将其转化为k 的方程；（2）用假设法求解。解：（ 1）将尸虹+ 1代入谿-屛=1，消去y,得:（3_P）宀2后_2 = 0依题意知|2韵，由+S（3-P）0,得-
5、麻好-羽或-馅吒厉 或| -： - . 由韦达定理，得设 A（xi，yi）， B（X2，y2），AB中点 C（Xo，y。），2k-2123-V123-k于是k3即c（h 37F）因以AB为直径的圆过原点，则在 Rt AOB中，- 一，由两点距离公式及 弦长公式，得：化简，得kHi，解得上=1或七再（舍去）（2）假设存在k,使A、B关于直线对称，则直线：1垂直平分线段AB于是且AB中点在直线匸”上。尹二一工 + 12 2 -由 2与弘7 联立，消去y,得：1 1JT3 +斗片-8三。_2_ 12由韦达定理、中点公式，可得AB中点C （11）显然点C不在直线卩上，故满足条件的k不存在。评注：（1中
6、要注意圆锥曲线与直线方程联立得到相应的一元二次方程的二次 项系数，对它们交点个数的影响；（2）属探索型问题，也是高考中的常见题型， 基本解法有假设法、反证法。三.最值问题求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几 何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中的条件和结 论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值， 求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、 函数单调性法等。例3.已知0为坐标原点，A B为抛物线b八邸（八旬上的点，设 ，试求m的最小值。图2分析：设AB与x轴交点为M（ t，0）,
7、则可根据题设条件利用向量数量积建立 目标函数刑二/。解：如图 2,设 AB交 x 轴于点 M (t , 0), A (xi, yi), B (X2, y2)。当 AB与 x轴斜交时，设AB叮诙疋当-1轴时，上面结论仍成立。S = OAOBOB =-08 coAOB tan AAOBLa由已知条件f -一匚亠豹二*1鬲品海厶的=扣E +汹=扌(八2輿)= l(tp)3-护1 .当t二p时，%直=2P评注：选取自变量t是关键，这是一道立意新颖、涉及知识点多且难度适中的好 题。四.参数范围问题 求解的基本策略是构建以待定参数为主兀的关系式。常用方法有：不等式法(列 出关于待定参数的不等式组，解得待定
8、参数的范围)，函数法。2 _ j1二 1例4.如图3,抛物线P f 的一段与椭圆4 3 的一段围成封闭图形，点 N( 1, 0)在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上， 且AB/X轴，求厶NAB 的周长I的取值范围。A = -1着=4分析：利用I与抛物线的准线和椭圆右准线之间的距离关系是求解的关键。解：易知N为抛物线一小的焦点，又为椭圆的右焦点，抛物线的准线爪 一1,椭圆的右准线心 4,过A于C,过B作也匕于D,则C、A B、D在同一条与x轴平行的直线上。x-2由卩/ +4声=12，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标 T|M|=5|5)|=-!-|5Z)|, AN=AC而2 NAB的周长1 =1的+1屈出屁卜阳I网幸牛扣叩Qq+I叭扣=|C卜扣亠扣口，即，即I的取值范围为(,4)
