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1、第1讲：特殊三角形的性质与判定一、知识回顾：等腰三角形的性质与判定等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等边对等角等角对等边等边三角形的性质与判定(1)等边三角形的每个内角都等于60。(2) 3个内角都相等的三角形是等边三角形。如果一个等腰三角形中有一个角等于60。，那么这个三角形是等边三角形。直角三角形的性质与判定直角三角形两锐角互余有两个内角互余的三角形是直角三角形斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(简写为“ H L”)直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半勾股定理勾股定理逆定理 四、典型例题分析：1、已知：如图/ EAC是 A
2、BC的外角，AD平分/ EAC且AD/ BC求证：AB= AC2、在上图中，如果 AB= AC, AD/ BC,那么AD平分/ EAC吗？如果结论成立，你能证明这个 结论吗？3: ZXABC 中 ADLBC 于 D, AB=3, BD=2, DC=1, 则 AC 等于4: zABC 中，BD，AC与D, AB=6,AD=4,BC=5,DC=。5: AABC 中，/C=90 , AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8, AD=5,则 AC第五题图6、 ABC 中，AB=AC=10, BDLAC 于 D,达标训练1、如果等腰三角形的周长为12, 一边长为5,那么另两边长分别为2、如果等腰三
3、角形有两边长为2和5,那么周长为。3、如果等腰三角形有一个角等于50,那么另两个角为。4、如果等腰三角形有一个角等于120另，那么另两个角为。5、在 ABC中，/ A= 40 ,当/ B等于多少度数时， ABC是等腰三角形？6、如图， ABC中，AB= AC,角平分线 BD CE相交于点 O, 求证：OB= OGADE= / AED= 2/ B,由这些条件你能得到哪些A7、如图，在 ABC 中，/ B= / C= 36 结论？请证明你的结论。8、已知：如图， ABC是等边三角形，DE/ BC,分另交 AR AC于点D E。 求证： AD比等边三角形。则需要加条件 或; 若利用“ HL”证明 A
4、B隼 ABED则需要加条件 或9 .在 ABC内部取一点P使得点P到 ABC的三边距离相等，则点 P应是 ABC的哪三条线交点.（）（A）高（B）角平分线（C）中线（D）边的垂直平分线10 .已知，如图， ABC中，AB=AC AD是角平分线，BE=CF则下列说法正确的有几个 （）（1） AD平分/ EDF; （2） EBtD FCD （3） BD=CD （4） ADBC.（A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个11 .如图，在 ABCn ABD中，/ C=Z D=90 ,若利用 “ AA6 证明 AB AB口12 .如图，有一个直角 ABG Z C=90 , AC=1Q BC
5、=5 一条线段 PQ=AB P.Q两点分别在 AC和过点A且垂直于 AC的射线 AX上运动，当 AP= 时，才能使A AB黄A PQA.13 .如图，在 ABC中，/ O 90 , AO BC, AD平分/ CAR 交 BC于 D,DE，AB 于 E,且 AB =6 cm,则 DEB的周长为 cm.14 .如图，在 ABC中，已知D是BC中点，DEL AB, DF AC,垂足分别是 E、F, DE= DF 求 证：AB=AC15.已知：如图,AC平分 / BAD CE! AB于 E, CF AD于 F,且 BO DC你能说明BE与DF相等吗?E第2讲：垂直平分线与角平分线知识点：线段的垂直平分
6、线上的点到这条线段的两个端点的距离相等到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等在角的内部，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在这个角的平分线上 三角形的三个角的角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等例题精讲例1、已知：如图，DE是4ABC的AB边的垂直平分线，分别交 AB、 BC于D、E, AE平分/ BAC若/ B=300,求/ C的度数。DE=DC例2、如图，已知 AD为4ABC的角平分线，/ B=90 , DFLAC,垂足为F,求证BE=CF例 3、 ABC中，AC=B
7、C, / C=9C0, AD是 ABC的角平分线， DEL AB 于 E。(1) 已知：CD=4cm求AC长(2) 求证：AB=AC+CD当堂训练:1、已知：线段 AB及一点P, PA=PB,则点P在2、已知：如图，/ BAC=120, AB=AC,AC勺垂直 平分线交 BC于D则/ ADC=。3、 ABC中，/ A=50, AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则/ DBC勺度数 4、 ABC中，DE、FG分别是边AR AC垂直平分线，则/ BAC=126,贝U/ EAG=5、如图， ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE直平分AB,则 BCD勺周长是 。6、有特大城市 A及两个小城市
8、 B C,这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使 A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。匚7、在三角形内部，有一点 P到三角形三个顶点的距离相等，则点 P一定是（）A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。8、已知 ABC的三边的垂直平分线交点在 ABC的边上，则4 ABC的形状为（）A 锐角三角形；B、直角三角形； C钝角三角形；D、不能确定9、等腰RtABC中，AB=AC,BC=a其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O,则点O到三角形三个顶点的距离是 。11、在 ABC中/ C=90
9、 , / A 的平分线交 BC于 D, BC=CM BD: DC =4: 3,则点 D到 AB的距离为。12、在RT4ABC中，/ C=90 , BD平分/ ABC交AC于D, DE是是斜边 AB的垂直平分线，且 DE=1CM 贝U AC=.13、OM平分/ BOA P是OM的任意一点， PDL OA PE OB，垂足分别为 D E,下列结论中错误的是（）A: PD=PE B OD=OE C / DPOW EPO D: PD=OD14、4ABC中，/ABG / ACB的平分线交于点 O,连结 AQ 若 / OBC=25 , / OCB=30 ,贝U/ OAC=:15、与相交的两直线距离相等的点
10、在（）A: 一条直线上 B : 一条射线上C :两条互相垂直的直线上D :以上都不对16、到一个角的两边距离相等的点在 。a17、4ABC中，/ C=900, /A 的平分线交 BC于 D,BC=21cm,BD:DC=4:3，则 D到/ JbAB的距离为./BE C18、RtABC中,AB=AC,BD分/ ABC DEI BC于 E, AB=8cm 贝U DE+DC= cm。19、 ABC中，/ ABC和/ BCA的平分线交于 O,则/ BAO和/ CAO的大小关系水为。20、RtABC中，/C=900, 21、已知：OP是/MONft的 F,且 AC=AD证:BE=BF1、（2013?%）如
11、图，AB为（）A. 50B. 602、（2013游宁）如图，在 长为半径画弧分别交 AB、BD平分/ ABC CD=n AB=m贝UABD的面积是 。一条射线，AC OM,ADL ON,BE1 OM,BFL ON,垂足分别为 C、0 E、HD FNAII CD, AD 平分/ BAC ,且/ C=80,则/ D 的度数C. 70。D. 100。/、 ABC中，/ C=90, / B=30 ,以A为圆心，任意 C门AC于点M和N,再分别以M、N为圆心，A.大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点iz.-D,则下列说法中正确的个数是（）AD是/ BAC的平分线；Z ADC=6
12、0 ; SADAC ： SAABC=1 ： 3.A. 1B. 2C. 3D. 43、（2013?曲靖）如图，直线 AB、CD相交十点 /COE,则/ AOE=.4、（2013成都市）如图，/B=300,若 AB/ACD= 度.5、（2013?湘西州）如图，RtAABC 中，Z C=90 DE LAB 于 E,若 AC=6 , BC=8 , CD=3 .（1）求DE的长；（2）求ADB的面积.一CDB点D在AB的中垂线上；EO,若/ BOD=40 , OA 平分/CD, CB 平分/ACD ,则仁口,AD 平分/ CAB ,第三讲：三角形的证明单元复习一、等腰、等边三角形1、在等腰三角形中顶角为
13、 40。时底角等于 , 一个底角为50 ,则顶角等于2、已知等腰三角形一个内角的度数为30。，那么它的底角的度数是 .3、等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是 .4、等腰三角形的两边长分别为4厘米和6厘米，这个三角形的周长为 5、等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm,则周长为.6、由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对,大角对.8、等腰三角形中的一个角等于100 ,则另两个内角的度数分别为（）a、40 , 40 b、100 ,20 c、50 , 50d、40 , 40 或 100 ,209、等腰三角形的一个外角等于1000 ,则这个三角形的三个
14、内角分别为（）a、50L 50L 80 b、80 , 80 , 20C、1。俨,100 , 20 D、50 , 50 , 80 或即，80 , 20io、如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15。，那么顶角为（）A、 45B、 40 C、 55。 D、 50。11、等腰三角形的一边为 4,另一边为9,则这个三角形的周长为（）A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或 2212、如果一个三角形的一个外角是130 ,且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形13、如图，在 ABC中，AB=AC, /C=2/A, BD是/ ABC的平分线，则图中共有等腰三 角形A.1个B.2个C.3个D.4个14、如图，已知 ABC中，CD平分/ ACB交AB于D,又DE/ BC,交 AC 于 E,若 DE=4 cm, AE=5 cm,则 AC 等于A.5 cmB.4 cmC.9 cmD.1 cm15、如图，在 MBC中，AB=AC , /A =36 , BD和CE分别是/ ABC和/ACB的平分线，且相交于点 P.在图中，等腰
