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1、南京航空航天大学FINITE ELEMENT METHODIN METHCHANICAL ENGINEERING弹性力学读书报告学生姓名学 号学 院 专 业课程教师 二一三年五月读书报告之弹性力学摘 要：弹性力学是固体力学的一个分支学科，主要研究可变形固体在外力、温度变化和边界约束变动等作用下的弹性变形与应力状态。弹性力学为解决工程结构的强度、刚度和稳定性做准备，但是并不直接做强度和刚度分析。关键词：弹性力学；微分方程；几何方程；物理方程1 弹性力学的作用弹性力学（Elastic Theory）作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建
2、和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。对于工科力学专业来说，弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进其计算方法。弹性力学主要研究非杆状的结构，如板、壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。此外，对于杆状构件作进一步的、较精确的分析，也须用到弹性力学。从理论上讲，弹性力学能解决一切弹性体的应力和应变问题。但在工程实际中，一般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，所以除少数的典型问题外，对大多数工程实际问题，往往都无法用弹性力学的基本方程直接进行解析求解，有些只能通过数值计算方法来求得其近似解。由
3、于弹性力学的基本方程偏微分方程边值问题求解存在困难，经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限单元法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法的基础。掌握弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。2 弹性力学在常用坐标系下的基本方程在各向同性线性弹性力学中，为了求得应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何
4、学和物理学方面出发，推导获得弹性力学的基本方程。2.1 直角坐标系下的基本方程三维情况下，直角坐标系下的弹性力学的基本方程为：2.1.1 平衡方程当弹性体在外力作用下保持平衡时，可根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式，即平衡微分方程。其中、为应力分量，X、Y、Z为单位体积的体积力在三个坐标方向的分量。2.1.2 几何方程弹性体受到外力作用时，其形状和尺寸会发生变化，即产生变形。在弹性力学中所考虑的几何学方面的问题，实质上就是研究弹性体内各点的应变分量与位移分量之间的关系。应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程，或叫做Cauchy几何方程。，由应变关系导出的应变协调方程为
5、：其中的u、v、w为位移矢量的三个分量（简称位移分量），、为应变分量。2.1.3 物理方程物理方程与材料特性有关，它描述材料抵抗变形的能力，也叫本构方程。本构方程是物理现象的数学描述。在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的关系，可用胡克定律建立：在平面应力问题中，可得到平面应力问题的物理方程为：在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z方向移动，即，所以z方向的线段都没伸缩，即。可得到平面应变问题的物理方程为：总括起来，当物体处于弹性状态时，有3个平衡方程，6个几何方程，6个本构方程，共15个方程。其中包括6个应力分量，6个应变变量，3个位移分量，共15个未知函数，因而在给定边界
6、条件时，问题是可以解决的。 圆柱坐标系下的基本方程在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面），那么弹性体的所有应力、应变和位移也就都对称于这根轴。这类问题通常称为空间轴对称问题。对于轴对称问题，采用圆柱坐标r、q、z比采用直角坐标x、y、z方便得多。这是因为，当以弹性体的对称轴为z轴时（如图2.1所示），则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与q无关（即不随q变化）。为推得轴对称问题的平衡微分方程，可取z轴垂直向上，用间距为dr的两个圆柱面，且互成dq角的两个垂直面及两个相距dz的水平面，从弹性体中割取一个微小六面
7、体PABC，如图2.13(b)所示。沿r方向的正应力，称为径向正应力，用表示；沿q方向的正应力，称为环向正应力，用表示；沿z方向的正应力，称为轴向正应力，用来表示。而作用在水平面上沿r方向的剪应力，则用来代表，据剪应力互等定理，有=。另外，由于对称性，=及=都不存在。这样，总共只有四个应力分量，即sr、sq、sz、tzr，它们都只是r和z的函数。(a) （b）(c) 轴对称问题示意图2.2.1 平衡方程空间轴对称问题的平衡微分方程为： 径向体力用K表示，而轴向体力（z方向的体力）用Z代表。2.2.2 几何方程如果用表示沿r方向的正应变，即径向正应变；用表示沿q方向的正应变，即环向正应变；而沿z
8、方向的轴向正应变仍用来表示。另外，r方向与z方向之间的剪应变用表示，由于对称，剪应变及均为零；沿r方向的位移分量，称为径向位移，用u 表示；沿z方向的轴向位移分量，仍用w表示，并且由于对称，环向位移v =0。根据几何方程的定义方法，可以得到因径向位移所引起的应变分量： 而轴向位移w引起的应变分量： 由此得到空间轴对称问题的几何方程：2.2.3 物理方程由于柱坐标也是一种正交坐标，所以轴对称问题的物理方程可以直接根据虎克定律得到，即： 在平面应力问题中，可得到平面应力问题的物理方程为：在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z方向移动，即，所以z方向的线段都没伸缩，即。可得到平面应变问题的物理
9、方程为：2.3 极坐标系下的基本方程在处理弹性力学问题时，选择什么样的坐标系，虽然不影响对问题本质的描绘，但将直接关系到解决问题的难易程度。对于像圆盘、厚壁圆筒、扇形板和半无限平面等问题采用极坐标更为简单。极坐标系与直角坐标系之间的关系为：2.3.1 平衡方程考虑单位厚度的微小单元abcd，其中在、方向的体力分量分别为、，于是由径向力的平衡（图2.2）得：图 2.2 用径向坐标及环向坐标表示的任一点P的位置 由于是个小量，故和分别可以用和1代替。整理后得： 在不计体力时，由极坐标与直角坐标的关系，可导出平衡方程用应力函数表示的应力分量，为： 2.3.2 几何方程如图2.3，现在考虑微小单元的变
10、形，将和方向的位移分别记作和，下图中的微小扇形单元为变形前的状态，虚线为变形后的状态。各点的位移可以分解为径向和周向两个矢量，例如 ，可分解为和，余类同。图中，的延长线交于，为的平行线。半径为的圆弧交于，且交处至该弧的垂线于。图2.3 于是，有极坐标的几何方程： 2.3.3 物理方程由于极坐标也是一种正交坐标，所以极坐标问题的物理方程可以直接根据虎克定律得到，即：在平面应力问题中，可得到平面应力问题的物理方程为：在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z方向移动，即，所以z方向的线段都没伸缩，即。可得到平面应变问题的物理方程为：3 弹性力学解题的基本方法弹性力学问题中共有15个待求的基本未知
11、量，即6个应力分量、6个应变分量、3个位移分量，而基本方程也正好有15个，即平衡微分方程3个、几何方程或变形协调方程6个（几何方程和变形协调方程实质上是等效的，两者只能应用其中之一）、物理方程6个。于是，15个方程中有15个未知函数，加上边界条件用于确定积分常数，原则上讲，这些方程足以求解各种弹性力学问题。可以证明，当这些方程的解答存在时，只要不考虑刚体位移，则所求得的解将是唯一的。但是，在实际求解时，其数学上的计算难度仍然是很大的。事实上，只是对一些简单的问题才可进行解析求解，而对大量的工程实际问题，一般都要借助于数值方法来获得数值解或半数值解。求解弹性力学问题主要有两种不同的途径。一种是按
12、位移求解，另一种是按应力求解。按位移求解就是先以位移分量为基本未知函数，求得位移分量之后再用几何方程求出应变分量，继而用物理方程求得应力分量。从原则上讲，按位移求解可以适用于任何边界问题，不管是位移边界问题还是应力边界问题、或者是混合边界问题，所以对某些重要问题，虽然不能按位移求解方式得到具体的、详尽的解答，但却可以得出一些普遍的重要结论，这是按应力求解时所不能办到的。事实上，在很多情况下，按位移求解也比较方便，只要所确定的位移函数是单值连续的，那么用几何方程所求得的应变分量就必定满足相容方程。但是，关键的问题是由位移分量和应变分量所确定的应力分量还必须要满足平衡微分方程，所以，按位移求解弹性
13、力学问题时，往往要比按应力求解更难于处理。这是按位移求解的缺点所在，也就是按位移求解尚不能得到很多有用解答的原因。然而，值得指出的是，在有限单元法中，按位移求解则是一种比较简单而普遍适用的求解方式，本书中所介绍的有限单元法都是以这种位移解法为出发点。求解弹性力学问题的另一种方式是按应力求解，即先以6个应力分量为基本未知量，求得满足平衡微分方程的应力分量之后，在通过物理方程和几何方程求出应变分量和位移分量。需要特别注意的是，应使所求得的应变分量满足相容方程，否则将会因变形不协调而导致错误。此外，应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。由于位移边界条件一般是无法改用应力分量来表示的，所以，对于位移
14、边界问题和混合边界问题，一般都不可能按应力求解得到精确的解答。因此，用弹性力学求解某一具体问题，就是设法寻求弹性力学基本方程的解，并使之满足该问题的所有边界条件。然而，要在各种具体条件下寻求问题的精确解答，实际上是很困难的。研究发现，对一些重要的实际问题，只要对其应力或应变的分布作若干的简化，则求解将变得比较简单。为此，通常可以根据求解对象的几何形状和受载情况，将具体问题简化为平面问题（可进一步分为平面应力问题和平面应变问题）、轴对称问题、板壳问题等等。 位移法求解为了用位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移u，v，w来表示。有上述方程（基本方程）可得：将上式代入平衡方程得：余下的类推。注
15、意到并采用Laplace算子可得下列用位移表示的微分方程：在不计体力时，上式简化为齐次方程：或上式称为拉梅-纳维方程。由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分式。3.2 应力法求解为用应力作为基本物理量，需将泛定方程改用应力分量表示，并求出6个应力分量所满足的6个方程。由此所求得的结，应满足应变协调条件和边界条件。为此，应将应变协调方程改用应力表示。将上式中的应变分量用广义胡克定律式代入，得于是可得于是推出最终可推出类似的可得其他5个方程。于是，得到应用应力表示的6个协调方程上式称为贝尔特拉米-米歇尔方程。实际上是用应力表示的协调方程，称为应力协调方程。当体力不计时，上式可简化为:由此可知，用应力法解弹性力学问题就归结为求满足平衡方程协调方程及边界条件的应力分量的数学问题。4 例题 挡水墙的密度为，厚度为b,图3-6，水的密度为，
