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1、.3抛物线方程及性质一、明确复习目标掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用二建构知识网络1抛物线的定义:到一个定点F的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹2标准方程:2p， y-2p, x2=2py, -2py (p0) 图形略: 3几何性质:对于抛物线y2=2要掌握如下性质:对称轴, 顶点坐标,焦点坐标, 准线方程离心率 ,焦准距,焦半经in.焦点弦: 对于=2px,过焦点的弦A（x1，y1)B(x2,y2）有，通径:过焦点垂直于轴的弦长为。.焦半径为直径的圆与y轴相切, 焦点弦为直径的圆与准线相切三、双基题目练练手1（202江苏）抛物线上的一点M到焦点的
2、距离为1，则点M的纵坐标是（ ）A.B.C.D.0. (20X上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线（ )A.有且仅有一条B有且仅有两条 C.有无穷多条 D不存在. 焦点在直线x2y上的抛物线的标准方程是 （ ）. y216x . y2=16x C.x2=8y D.以上说法都不对4过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若PF与FQ的长分别为、,则等于 ( ）A B C D 下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(，)，其轨迹方程是yx2（0），D=(,)为x轴上的给定区间.为使物体落在D内,a的取值范围是_;AxOy676.已知抛物
3、线y2=x上两个动点A、B及一个定点（, y0）,F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段B的垂直平分线与x轴交于一点N则点的坐标是_（用x0表示）；简答:1-BD; 4考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,5.把点A的坐标(0,9)代入yac得c9,即运动物体的轨迹方程为=ax+9令y=,得ax+9=0，即x=若物体落在D内,应有67，解得0，P是抛物线上的一点,且PA=d，试求d的最小值.解:设P(0,y0）(x00），则y02=2x0,|P|=.a0，x00，（1)当0，此时有x=0时，dmin=.（2)当a1时，-0，此时有0=a-时，dmin=.【例2】过抛物线
4、y2px（p0)焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求AFB.解法:由抛物线定义及平行线性质知1FB1=80-(AFA1+BFB)=10（01A）-（180B）=(A1F+B1B)=90法2:设弦AB的方程是：得,设A(x1,1),(x2,y2),由韦达定理得1-p又,从而知A1F10.提炼方法:1平面几何法与定义法结合,简捷高效； 弦A的方程是：(本题不存在B垂直于y轴的情况)，避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用.【例3】 如下图所示，直线1和相交于点M，l1l,点Nl1,以A、B为端点的曲线段上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形,|M
5、|=,|=3,且|N|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程解:以直线l1为x轴,线段N的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,由条件可知，曲线段是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点设曲线段C的方程为2x（p0)（xAxxB,y0)，其中x、B为A、的横坐标,=M|，所以M（,) 、N（,)由|AM=，AN|=3,得（xA)2+pxA=1， (x)2+2xA=9. 联立解得x=,代入式,并由p0,或解得 4， p2，= xA2 因为AMN为锐角三角形，所以x所以故舍去 P=2, P=4，A x=1由点在曲线段C上，得=|BN|=4综上，曲线段C的方程为y2=
6、（1x4，0).提炼方法： .熟练运用定义确定曲线是抛物线段;2.合理选择坐标系，确定标准方程;.运用距离公式求出标准方程中的待定系数;4特别注意范围的限定【例4】(02X全国卷)设两点在抛物线上，是A的垂直平分线. （)当且仅当取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论;(）当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.解：(）两点到抛物线的准线的距离相等.抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0,上述条件等价于, 上述条件等价于 即当且仅当时，经过抛物线的焦点F另解：(）抛物线，即,焦点为 (1）直线的斜率不存在时，显然有 (2）直线的斜率存在时，设为,截距为b即直线：ykx+ 由
7、已知得: 即的斜率存在时,不可能经过焦点 所以当且仅当=时，直线经过抛物线的焦点F （II)(理)设l在y轴上的截距为b,依题意得的方程为；过点、B的直线方程可写为,所以满足方程得；A,B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点的坐标为，则由即得l在y轴上截距的取值范围为（）法二:=1,y2=2, 相减得,中点在抛物线内必【研讨.欣赏】(22X山东文)已知动圆过定点，且与直线相切，其中(I)求动圆圆心的轨迹的方程；(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和,当变化且时,证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标解：（I)如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线
8、的垂线,垂足为,由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为(II)如图，设,由题意得。又直线的倾斜角满足，故。直线的斜率存在，否则,的倾斜角。从而设直线的方程为,显然，将与联立消去，得由韦达定理知由,得。将式代入上式整理化简,得：此时直线的方程可表示为:，即。直线恒过定点五.提炼总结以为师1求抛物线方程的方法：待定系数法，定义法,直接法;涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意运用“设而不求”的策略,避免求交点坐标的复杂运算.3解决焦点弦问题时,应注意抛物线的定义和焦点弦的几何性质应用，注意抛物线上的点,焦点,准线
9、三者之间的联系.同步练习 8.3抛物线方程及性质 【选择题】.(202X全国)抛物线上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( ）A2 B3 C.4 D.52 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点，当最小时,M点坐标是 ( ） A B D 3.一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部，则玻璃球的半径的范围为(）A C D4 设抛物线的轴和它的准线交于E点，经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点（直线Q与抛物线的轴不垂直)，则与的大小关系为 ( )A B D 不确定【填空题】抛物线 的动弦B长为,则AB中点到轴的最短距离是_ 6.对于顶点
10、在原点的抛物线,给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在轴上;抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为；由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为（2,1)能使这抛物线方程为y=0x的条件是_.（要求填写合适条件的序号）简答提示：1-4:DCCC；2 把转化为M到准线的距离,然后求的最小值3. 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x，y), 列出转化为二次函数问题。.向量解法： 由A、F、B共线得（重要结论)，进而得出5.可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短,答案由抛物线方程y2=1x可知满足条件答案：【解答题】(202X春北京文)如图，O为坐标原点,过点P(2,0）且斜率为k的
11、直线交抛物线y2=x于M(x,)，N(x2, y2）两点（1）求x1x2与yy2的值；(2）求证：OMON（)解:直线l的方程为 代入y=2x消去可得 点M,N的横坐标与 2是的两个根，由韦达定理得（)证明:设OM，的斜率分别为k, 2,8.(本小题满分4分）(202X年高考广东卷1)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=上异于坐标原点的两不同动点A、B满足OBO(如图4所示) (）求AOB的重心（即三角形三条中线的交点)的轨迹方程； （)AOB的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.解:（I）设AB的重心为G(,y),(1，y)，B(x,2),则 (1）OOB，即,
12、（)又点A，B在抛物线上，有,代入(2)化简得，所以重心为G的轨迹方程为.（II)由（I）得当且仅当即时,.所以AB的面积存在最小值,且最小值为1.（本小题满分14分）（202X年春考北京卷理1)如图,为坐标原点,直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点(1)写出直线的截距式方程;（）证明：；（)当时，求的大小.(）解:直线l的截距式方程为 (）证明：由及y2=2x消去x可得 点，N的纵坐标y1,2为的两个根,故()解:设OM,O的斜率分别为k1,k2,10（202X春全国)已知抛物线y2=4px(p)，O为顶点，、B为抛物线上的两动点,且满足OAB,如果OMAB于点，求点M的轨迹方程分析：点M随着A、两点的变化而变化，点M是O与的交点,而A、为抛物线上的动点，点与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数解法一:设M(x0，y）,则kOM=,B，直线AB方程是=(x-x0）+y0由y24px可得=，代入上式整理得0y2(4py）y4py024p2=0 此方程的两根y、y分别是A、B两点的纵坐标,A（，y1）、(,y）.
