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1、1、概述在机床的实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，各式各样。严格说来，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成。然而，对于简单的曲线，数控装置易于实现，但对于较复杂的形状，若直接生成，势必会使算法变得很 复杂，计算机的工作量也相应地大大增加。因此，在实际应用中，常常采用一小段直线或圆 弧去进行逼近，有些场合也可以用抛物线、椭圆、双曲线和其他高次曲线去逼近（或称为拟 合）。所谓插补是指 数据密化的过程。在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的 情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限 坐标点之间生成一系列的坐
2、标数据，即所谓数据密化，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，以满足加工精度的要求。机床数控系统的轮廓控制主要问题就是怎样控制刀具或工件的运动轨迹。无论是硬件数控（NQ系统，还是计算机数控（CNC系统或微机数控（MNC系统，都必须有完成插补功 能的部分，只是采取的方式不同而已。在CNC或 MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补，而在 NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的计算装置插补器。无论是软件数控还是硬件数控，其插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，使被控机械部件按指定的
3、路线移动。有关插补算法问题， 除了要保证插补计算的精度之外，还要求算法简单。这对于硬件数控来说，可以简化控制电路，采用较简单的运算器。而对于计算机数控系统来说，则能提高 运算速度，使控制系统较快且均匀地输出进给脉冲。经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。从产生的数学模型来分， 有直线插补、二次曲线插补等；从 插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉冲增量插补） 和数据采样插补。在基准脉冲插补中，按基本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插 补，以比例乘法为特征的数字脉冲乘法器插补，以数字积分法进行运算的数字积分插补，以矢量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积分特征
4、的比较积分法插补，等等。在CNC系统中，除了可采用上述基准脉冲插补法中的各种插补原理外，还可采用各种数据采样插补方法。本文将介绍在数控系统中常用的逐点比较法、数字积分法、时间分割法等多种插补方法以及刀具半径补偿计算原理。2、逐点比较法逐点比较法是我国数控机床中广泛采用的一种插补方法，它能实现直线、圆弧和非圆二 次曲线的插补，插补精度较高。逐点比较法，顾名思义，就是每走一步都要将 加工点的瞬时坐标同规定的图形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定下一步的走向，如果加工点走到图形外面去了，那么下一步就要向图形里面走；如果加工点在图形里面，那么下一步就要向图形外面走，以缩小偏差。这样 就能得出一个非常接近
5、规定图形的轨迹，最大偏差不超过一个脉冲当量。在逐点比较法中，每进给一步都须要进行 偏差判别、坐标进给、新偏差计算和终点比较 四个节拍。下面分别介绍逐点比较法直线插补和圆弧插补的原理。2.1逐点比较法直线插补如上所述，偏差计算是逐点比较法关键的一步。下面以第I象限直线为例导出其偏差计算公式。02-1酚懈卜过程如图2-1所示，假定直线OA的起点为坐标原点， 终点A的坐标为A (Xe, Ye), P (Xi,Yi)为加工点，若 P点正好处在直线 OA上，那么下式成立：XeYiXiYe=0若任意点P (Xi, Yi)在直线OA的上方(严格地说，在直线 OA与y轴所成夹角区域 内)，那么有下述关系成立：
6、亦即：XeYiXiYe0由此可以取偏差判别函数Fij为：Fij=XeYi XiYe由Fij的数值(称为“偏差”)就可以判别出P点与直线的相对位置。即：当Fij=O时，点P (Xi, Yi)正好落在直线上；当Fij0时，点P (Xi, Yi)落在直线的上方；当Fij0)时，应该向+x方向发一个脉冲，使机床刀具向+x方向前进一步， 以接近该直线；当点 P在直线下方(即Fjo和Fj=O归于一类，即 Fij 0。这样从坐 标原点开始，走一步，算一次，判别 Fij，再趋向直线，逐点接近直线 OA，步步前进。当两 个方向所走的步数和终点坐标 A (Xe, Ye)值相等时，发出终点到达信号，停止插补。对于图
7、21的加工直线OA，我们运用上述法则，根据偏差判别函数值，就可以获得 如图中折线段那样的近似直线。但是按照上述法则进行 Fij的运算时，要作乘法和减法运算，这对于计算过程以及具体 电路实现起来都不很方便。对于计算机而言，这样会影响速度；对于专用控制机而言，会增 加硬件设备。因此应简化运算，通常采用的是迭代法，或称递推法，即每走一步后新加工点的加工偏差值用前一点的加工偏差递推出来。下面推导该递推式：已经知道，加工点的坐标为(Xi, Yi )时的偏差为：Fij=XeYi Xi Ye若Fij 0时，则向x轴发出一进给脉冲， 刀具从这点即(Xi, Yi)点向x方向前进一步， 到达新加工点P (Xi+i
8、, Yi), Xi+i=Xi+1，因此新加工点 P (Xi+i , Yi)的偏差值为即：Fi+1 , j = F ij -Ye(2-1)如果某一时刻，加工点 P (Xi, Yi )的Fij0-AsF疔F沪产扣1E3=E4-1=36F33(- 10F才養密4-2E2- Eri-27-AyF43=F4r-2+5=3ErM=1SF4/- 3沁-hixF好有尹严冷E严古0 劃达黛点22逐点比较法圆弧插补加工一个圆弧，很容易联想到把加工点到圆心的距离和该圆的名义半径相比较来反映加工偏差。这里，我们以第I象限逆圆弧为例导出其偏差计算公式。设要加工图23所示第J”I象限逆时针走向的圆弧 ：，半径为R,以原点
9、为圆心，起点坐标为 A(Xo, Yo)，对于圆 弧上任一加工点的坐标设为 P(Xi, Yi), P点与圆心的距离 Rp的平方为Rp2=Xi2+Yi2,现在讨 论这一加工点的加工偏差。若点P( Xi, Yi)正好落在圆弧上，则下式成立：Xi2+Yi2=Xo2+Yo2=R若加工点P( Xi, Yi)在圆弧外侧，贝U RpR，即:Xi2+Yi2Xo2+Yo2若加工点P( Xi, Yi)在圆弧内侧，贝U RpR，即:Xi2+Yi20(加工点在圆弧外侧)(Xi2-Xo2) + (Yi2-Yo2) 0的条件时，应向x轴发出一个负向运动的进给脉冲(- x)，即向圆内走一步。若 P(Xi, Yi)在圆弧内侧，
10、即满足 Fij 0x坐标需向负方向进给一步(- x)，移到新的加工点 P( Xi+1, Yi)位置，此时新加工点的 x坐标值为Xi-1 , y坐标值仍为Yi ,新加工点P( Xi+i, Yi)的加工偏差为:Fi+i, j = (Xi-1) 2-Xo2+ ( Yi2-Yo2)经展开并整理，得：Fi+i, j= Fij-2Xi+1(2-3)设加工点 P(Xi, Yi)在圆弧的内侧，则：Fij = (Xi2-Xo2) + (Yi2-Yo2) 0时，应走- x，新偏差为Fi+i, j= Fij-2Xi+1 ,动点(加工点)坐标为 Xi+i=Xi-1 , Yi=Yi;当 Fij0 时，应走 + y,新偏差为 Fi,j+i= Fij+2Yi+1 ,动点坐标为 Xi=Xi,Yi+i=Yi+1 。(见图2 4),起点A下面举例说明插补过程。设欲加工第I象限逆时针走向的圆弧的坐标是Xo=4,Yo=3，终点E的坐标是Xe=0, Ye=5，终点判别值:E=(Xo-Ye)+(X 0-Ye)= (4-0) +m円nE-9F- 7F-0EM7E-3ZE*2-III
