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1、机械优化设计课程作业2014至2015学年度 第 2学期）班M学号姓名机械1207A07120157郑杨机械优化设计案例1. 题目 对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。2. 已知条件已知数输入功p=58kw，输入转速n1=1000r/min,齿数比u=5,齿轮的许用 应力e H=550Mpa，许用弯曲应力e F=400Mpa。3. 建立优化模型3.1 问题分析及设计变量的确定由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设 计参数。由于齿轮和轴的尺寸(即壳体内的零件)是决定减速器体积的依据，故 可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。单机圆柱齿轮减速器的
2、齿轮和轴的体积可近似的表示为：v = 0.25兀b(d2 一 d2) + 0.25兀b(d2 一 d2 ) 一 0.25(b - c)(D2 - d2 )-1 z12z2g2g 2兀d2c + 0.25兀l(d 2 + d 2 ) + 7兀d 2 + 8兀d20 z 1 z 2 z 1 z 2=0.25兀m2z2b 一 d2 b + m2z2u2b 一 d2 b 一 0.8b(mz u 一 10m)2 +1 z11z 212.05bd2 一 0.05b(mz u 一 10m 一 1.6d ) + d21 + 28d2 + 32d2 z21z 2z2z1z 2式中符号意义由结构图给出，其计算公式
3、为d = mz , d = mz1 1 2 2D = umz 一 10mg 21d = 1.6d , d = 0.25(umz 一 10m 一 1.6d )g 2z2 01z 2c = 0.2b由上式知，齿数比给定之后，体积取决于 b、z1 、m、l、dz1 和 dz2 六个参数， 则设计变量可取为x = x x x x x x T = b z m l d d T1234561z1z23.2 目标函数为f (x) = 0.785398(4.75x x2x2 + 85x x x2 一 85x x2 + 0.92x x2 一 xx2 +1 2 31 2 31 31 61 50.8x x x x 一
4、 1.6x x x + x2x2 + x2x2 + 28x2 + 32x2) t min1 2 3 61 3 64 54 6563.3 约束条件的建立1)为避免发生根切，应有Z - Zmm = 17，得g (x) = 17 一 x 012bq q2 )齿宽应满足min d maX，申mi!和max为齿宽系数少d的最大值和最小值，一般取9 min =0.9，max = 1-4，得g (x) = 0.9 x (x x ) 02 23g (x) = x (x x ) 一 1.4 03 12 33) 动力传递的齿轮模数应大于2mm，得g (x) = 2 一 x 0 434) 为了限制大齿轮的直径不至过
5、大，小齿轮的直径不能大于dimax，得g ( x ) = x x 一 300 052 35)齿轮轴直径的范围：dz mn dz dz max得g ( x) = 100 一 x 0 65g ( x) = x 一150 0 75g ( x ) = 130 一 x 0 86g ( x) = x 一 200 0966)轴的支撑距离1按结构关系，应满足条件：1工b + 2Amin + 5d 2(可取Amin =20)， 得g ( x) = x + 0.5 x 一 x 一 40 010164g (x) = 1468250 (x .7) - 550 011 2 31g ( x ) =12g13(x)=7)齿
6、轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得一 400 0x x2(0.169 + 0.6666x10-2x - 0.854x 10-4x2)2 322- 400 0x x2(0.2824+0.177x102x -0.394x10-4x2)40002 3 2 28)齿轮轴的最大挠度5 max不大于许用值5 ，得g (x) = 117.04x4 (x x x4) - 0.003x 0 1442 3 549)齿轮轴的弯曲应力5 w不大于许用值5 w，得.1 1/2.85x106x、- ._g (x) =(4)2 + 2.4 x1012 一 5.5 015 x 3x x5 *2 3/、1 i 2.85
7、x106 x ., “_ 八g (x) =(4)2 + 6 x 1012 一 5.5 016 x 3x x6 2 34. 优化方法的选择由于该问题有 6 个设计变量， 16 个约束条件的优化设计问题，采用传统的 优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用 Matlab 优化工具箱中的 fmincon函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。5. 数学模型的求解5.1.1 将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为min f (x) = 0.785398(4.75x x2x2 + 85x x x2 - 85x x2 +1 2 31 2 31 30.92x x2 - x x2
8、+ 0.8x x x x -1.6x x x + x x21 61 51 2 3 61 3 64 5+ x x2 + 28x2 + 32x2)4 656Subject to:g (x) = 17 - x 01 2 .g (x) = 0.9 - x (x x ) 02 12 3g (x) = x .(x x ) -1.4 03 12 3g ( x ) = 2 - x 043g ( x) = x x - 300 05 2 3g ( x) = 100 - x 0 65g (x) = x -150 0 75g ( x ) = 130 - x 086g ( x) = x - 200 0 96g (x)
9、= x + 0.5x 一 x 一 40 010 164g (x) = 1468250. (x x) - 550 0- 400 0x x2(0.169 + 0.6666xlO-2x -0.854x 10-4x2)2 322- 400 0x x2(0.2824 + 0.177 x102 x - 0.394 x10-4 x2)2 3 2 211 2 31g ( x ) =12g ( x ) =13g (x) = 117.04x4. (xxx4) 0.003x 012 42 3 54/、11/2.85 x106 x、_ . _ reg (x) =(4)2 + 2.4 x 1012 - 5.5 013
10、x 3x x5 2 31 I 2.85x106xvng (x) =. (4)2 + 6 x1012 -5.5 014 x 3x x6 2 35.1.2运用Matlab优化工具箱对数学模型进行程序求解首先在Matlab优化工具箱中编写目标函数的M文件myfun.m，返回x处的函 数值 f：function f = myfun(x)f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)T*x (3)八2+85*x(1)*x(2)*x(3)八2-85*x(1)*x(3)八2+0.92*x(1)*x (6) A2-x(1)*x (5) A2+0.8*x(1)*x (2)*x (3) *x (6)-1.6
11、*x(1)*x (3)*x (6)+x *x(5)A2+x( 4)*x(6)A2+28*x(5)A2+32*x(6)A2)由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的 M 文件 mycon.m：functionc,ceq=myobj(x)c=17-x(2);0.9-x(1)/(x(2)*x(3);x(1)/(x(2)*x(3)-1.4;2-x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x (5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40;1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)-550;7098/(x(1
12、)*x(2)*x(3)八2*(0.169+0.006666*x (2)-0.0000854*x(2)八2)-400;7098/(x(1)*x( 2)*x(3)八2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)八2)-400;117.04*x(4)八4/(x(2)*x (3)*x (5)A4)-0.003*x(4);(1/(x(5)A3)*sqrt(2850000*x(4)/(x(2)*x(3)A2+2.4*10A12)-5.5;(1/( x(6)A3)*sqrt(2850000*x(4)/(x(2)*x(3)A2+6*10A13)-5.5;ceq=;最后在 comma
13、nd window 里输入：x0=230;21;8;420;120;160;% 给定初始值x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun,x0,myobj,output)%调用优化过程5.1.3 最优解以及结果分析 运行结果如下图所示：Command Window123.355599.85171.7501147.357150.4904129.5036fval =2.316Se-b007eicltflag：0out put =iterations：fiji_LcCcim_Lt:42604stepsize: algorit Putl： firstcuderopt: cgi
14、terat ions: message:? jnedimR-scale: SQPj Quasi-New on.j line-search? 1.9956e+0071k79 char由图可知，优化后的最终结果为x=123.3565 99.8517 1.7561 147.3157 150.4904 129.5096 f(x)=2.36e*107 由于齿轮模数应为标准值，齿数必须为整数，其它参数也要进行圆整 ,所以 最优解不能直接采用，按设计规范，经标准化和圆整后：x=124 100 2 148 150 130f(x)=6.16 *1076. 结果对比分析若按初始值减速器的体积V大约为6.32X107mm3，而优化后的体积V则为6.16 X 107mm3,优化结果比初始值体积减少为：Av=1-(6.16X107/6.32X107)X100%=2 5% 所以优化后的体积比未优化前减少了 2.5%，说明优化结果相对比较成功。7学习重点及难点 通过将近一学期的学习，对这门课有了初步的了解和认识，学期伊始，浏览 全书，发现全是纯理论
