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1、课时作业51直线与圆锥曲线 基础达标1过椭圆1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A、B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.22020郑州测试已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方若APB90，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度解析：(1)由题意知解得所以
2、椭圆C的方程为1.(2)设直线l：yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，得消去y，化简整理，得x22mx2m240.则由(2m)24(2m24)0，得2m2.由根与系数的关系得，x1x22m，x1x22m24，因为kPA，kPB，所以kPAkPB，上式中，分子(x22)(x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0.所以kPAkPB0.因为APB90，所以kPAkPB1，则kPA1，kPB1.所以PMN是等腰直角三角形，所以|MN|2xP4.3设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2
3、|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值解析：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)设直线l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2，因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，因为0bb0)，右焦点为F2(c,0)因为AB1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB290，因此|OA|OB2|，得b.由c2a2b2得4b2a2b2
4、，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，所以a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为xmy2，代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即
5、16m2640，解得m2.所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.52020唐山五校联考在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动， .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积解析：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)由题意知
6、，直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.这时|AB|x1x2|，原点到直线AB的距离d，所以平行四边形OAMB的面积S|AB|d.62018天津卷设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点)，求k的值解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2
7、b2c2，可得2a3b.由已知可得|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|，而OAB，所以|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，两边平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值为或.能力挑战72020贵州贵阳测试已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上
8、端点，0，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，求k1k2的值解析：(1)由0，得bc，将xc代入1中，得y，因为|AB|，所以，又a2b2c2，所以a，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)根据题意设直线l的方程为y1k(x2)(k1)，即ykx2k1(k1)，将ykx2k1代入y21中，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，由题意知16k(k2)0，得2k0，设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以k1k22k2k(2k1)1，即k1k21.
