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1、空间向量知识要点已知向量万，向量舌，单位向量z（1） 3b =才b cos 其中cos v a,b表示向量万，b夹角。(2)(4)(6)(7)bb(3)b ib。b b = 0b = bxb以bbbb = b.b (交换律)b J b bb bba.b + c = ab + ab (分配律)注意：不满足结合律k )上述运算法则依然适用于空间向量空间向量的坐标表示及运算法则（坐标表示的前提是向量的起点为原点）如 右图，空间直角坐标系中bbb b有 a = a i + a j + a k，其中b、二、b分别为的单位向量，则记为b =（aa2,a ）， 这就是b的坐标表示。运算法则：设b = (a
2、, a , a )，b = (b , b , b )则123123b+b = (a + b ,a + b ,a + b )112233 万一舌 =（a - b , a - b , a - b ） 人万=（人a ,人a ,人a ） a-否=ab + a b + a b1 12 23 3 a / / b u a =入b且a =入b 且a =入b b b u a b + a b + a b = 01 12 23 3Ob!T! a = J2+2+2干21cos =ab+ab +ab1 12 23 3a 2+a 2+a 2 x b 2+b 2+b23相关应用已知点AG , y ,乙）与点B（x ,y ,
3、乙）则有 11, 1222、AB = （x x , y y , z z ） 21 21 21（%-气）2 +（y广七）2 +（z-z ）2、证明方面: 已知a、，为两个不同平面，b,舌分别它们的法向量，l是 一条直线，l的方向向量为b，则有：1、l /a等价于l仁a，且方1 bl ,12、l 1a等价于b / nn3、a/p等价于/R，4、a p等价于n11n2其中平行可以通过共线进行判断， 垂直可以通过数量积进行判断。二、计算方面：1、平面的法向量的求法：设力=内的两个不共线向量a，舌垂直，其数量积为零，列出a,舌 两个三元一次方程，联立后取其一组解。2、线面角的求法：设另是 平面a的法向量
4、，l是直 线l的方向向量，则直线l与abn平面以所成的角为arcsin3、二面角的求法:AB、cd分别是二面角 a -I - p的两个半平面内 与棱i垂直的异面直线，则 二面角的大小就是 AB,cd 。设n，n2是二面角侦T-p的两个面a、P的法向量，tn nn = arccos 1 2it x n就是二面角的平面角或其补角。n4、异面直线间的距离的求法:lr 12是两条异面直线，n是5、点面距离的求法：设n是平面以的法向量，AB是平面a的一条斜线，则点B到平面a的ABt距离为nn6、线面距离、面面距离均可转化为点面距离再用5中的 方法解决。上述方法适用范围：1、易于建立空间直角坐标系（即可以找出三条两两垂直 的直线）2、易于求出各点的坐标（即由已知长度或假设可以求出 各点的坐标）
