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1、高考数学最新资料思想方法训练3数形结合思想思想方法训练第6页一、能力突破训练1.已知i为虚数单位,如果图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,那么复数对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：由题图知,z=2+i,=-i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.方程sin=x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.以上均不对答案：B解析：在同一坐标系内作出y=sin与y=x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.若xx|log2x=2-x,则()A.x2x1B.x21xC.1x2xD.x1x2答案：A解析：设y1=log
2、2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x1,则有x2x1.4.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a0)在区间(-,b上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()A.2B.2-或6-3C.63D.2+或6+3答案：D解析：结合函数f(x)的图象(图略)可知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b3),解得b=2+;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b9),解得b=6+3,故选D.5.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是(
3、)A.(-6,0B.(-6,6)C.(4,+)D.(-4,4)答案：B解析：如图,由题知,若f(x)=与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有解得-6t6.6.已知函数f(x)=|log2|x|-,则下列结论正确的是()A.f(x)有三个零点,且所有零点之积大于-1B.f(x)有三个零点,且所有零点之积小于-1C.f(x)有四个零点,且所有零点之积大于1D.f(x)有四个零点,且所有零点之积小于1答案：A解析：在同一坐标系中分别作出f1(x)=|log2|x|与f2(x)=的图象,如图.由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点,即函数f(x)有三个零点.设三个零点从左到右分别是x1,
4、x2,x3,因为f0,所以-x1-.同理,x21,1x32,则-1x1x2x3-,即所有零点之积大于-1.7.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案：-解析：在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-.8.函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为.答案：2解析：f(x)=2sin xsin-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x0时,两图象有2个交点,当x0时,两
5、图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.9.若不等式k(x+2)-的解集为区间a,b,且b-a=2,则k=.答案：解析：令y1=,y2=k(x+2)-,在同一个坐标系中作出其图象,如图.k(x+2)-的解集为a,b,且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2),k=.10.已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x-4),又f(x)=函数g(x)=+a,若F(x)=f(x)-g(x)恰好有4个不同的零点,则a的取值范围是.答案：解析：由f(x)=f(x-4),知f(x)是周期为4的函数;由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x+4),得图象的对称轴
6、为直线x=2.若F(x)恰有4个零点,则有解得a.11.(20xx天津,文16)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连
7、续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.图2二、思维提升训练12.已知函数f(x)=函数g(x)=b
8、-f(2-x),其中bR,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.B.C.D.答案：D解析：由f(x)=得f(x)=f(2-x)=所以f(x)+f(2-x)=因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.13.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.B.C.D.答案：D
9、解析：设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x-时,g(x)-时,g(x)0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D.取点C.由图可知,不等式g(x)h(x)只有一个整数解时,须满足k
10、PCakPA.而kPC=,kPA=1,所以a1.故选D.14.已知函数f(x)=则方程f(x)=2x在区间0,2 015上的根的个数是.答案：2 016解析：画出y=f(x)与y=2x的图象如图所示,由图象可得,方程f(x)=2x在0,2 015内的根分别是x=0,1,2,3,2 015,共2 016个.15.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范围.解因为-lg a=lg bab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10c12,因此10abc12.故a
11、bc的取值范围是(10,12).16.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,bR),已知它们在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.解函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+).(1)f(x)=3ax2-3af(1)=0,g(x)=2bx-g(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=.(2)当x(0,1)时,g(x)=x-0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,x(-1,0)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则a22a,所以实数a的取值范围是.图图
