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1、提能拔高限时训练29 不等式的综合问题一、选择题1.（2009北京西城高三抽样测试，理1）若集合A=x|x-10,B=x|x|2，则集合AB等于( )A.x|x1 B.x|x1或x-2C.x|x-2或x2 D.x|x-2或x1解析:解x-10，得x1，故A=1，+),解|x|2，得x2或x-2，故B=(2,+)(-,-2)，所以AB=x|x-2或x1.答案:D2.若a0,b0且ab,在a、b之间插入n个正数x1,x2,xn,使之成为等比数列(n2,nN*),记,则M与N的大小关系是( )A.MN B.M=N C.MN D.不能确定解析:易求得,而,则有MN.答案:C3.设则不等式f(x)2的解
2、集为( )A.（1，2）(3,+) B.(,+)C.(1,2)(,+) D.(1,2)解析:由或得或则1x2或x即(1,2)(,+).答案:C4.函数f(x)的图象是两条直线的一部分（如右图所示），其定义域为-1,0)(0,1,则不等式f(x)-f(-x)-1的解集为( )A.x|-1x1且x0 B.x|-1x0C.x|-1x0或x1 D.x|-1x或0x1解析:方法一:由图象得当0x1时，原不等式可化为1-x-(-1+x)-1,即x,0x1.当-1x0时，原不等式可化为-1-x-(1+x)-1,即x,-1x.综上，原不等式的解集为x|-1x或0x1,故选D.方法二:观察已知函数的图象可知函数
3、f(x)为奇函数,故f(x)-f(-x)=2f(x)-1f(x),如图作出直线,易解得A的横坐标为,根据不等式观察图象易知解集为-1,)(0,1.答案:D5.已知a2xa,M=logax2,N=loga(logax),P=(logax)2,则( )A.MNP B.PMN C.MPN D.NMP解析:a2a,0xa1.logax1,N=loga(logax)0.又2logaxlogaxlogax,即MP.MPN.答案:C6.已知f(x)=ax,g(x)=bx,当f(x1)=g(x2)=3时，x1x2,则a与b的大小关系不可能成立的是( )A.ba1 B.a1b0 C.0ab1 D.b1a0解析:
4、x1=loga3,x2=logb3.当b1a0时，x10,x20与x1x2矛盾.选D.答案:D7.（2009安徽安庆第一学期高三质检，理12）已知函数f(x)=logax(a0且a1)满足，则的解是( )A.0x B.0xC.1x D.1x解析:由题意，得0a1,所以，同解于logaa,即解得1x.答案:D8.如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0且a1)在区间0,+)上是增函数,那么实数a的取值范围是( )A.(0, B.,1) C.(1, D.(,+)解析:令ax=t,则y=t2-(3a2+1)t,对称轴.当0a1时,则0ax1,欲使f(x)在0,+)上递增,只需1,即3a2+1
5、2,即a2.a或a(舍去).当a1时,ax1,不成立,故选B.答案:B9.若使不等式x2-4x+30和x2-6x+80同时成立的x值也满足关于x的不等式2x2-9x+a0,则( )A.a9 B.a=9 C.a9 D.a9解析:在x(2,3)上,f(x)=2x2-9x+a0,a9.答案:C10.若a,b,c0且a2+2ab+2ac+4bc=12,则a+b+c的最小值是( )A. B.3 C.2 D.解析:由已知得(a+2b)(a+2c)=12.a0,b0,c0,(a+2b)+(a+2c)，即a+b+c.答案:A二、填空题11.已知函数f(x)=sinx+5x,x(-1,1),若f(1-a)+f(
6、1-a2)0,则a的取值范围是_.解析:由f(x)在(-1,1)上是单调递增的奇函数,且f(1-a)+f(1-a2)0成立,转化为答案:(1,)12.若不等式|x-4|+|3-x|a的解集是空集,则实数a的取值范围为_.解析:不等式|x-4|+|3-x|a的解集为|x-3|+|x-4|a的解集为.又|x-3|+|x-4|的最小值为1,故a(-,1.答案:(-,113.设n个实数x1,x2,xn的算术平均数是,若a是不等于的任意实数,并记p=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+(xn-a)2,则p与q的大小关系是_.解析:p-q=-2(x1+x2+x3+
7、xn)+n2+2a(x1+x2+xn)-na2=-2n2+n2+2an-na2=-n(2-2a+a2)=-n(-a)2,a,nN*,-n(-a)20,故pq.答案:pq14.在下列四个命题中:函数的最小值为6;不等式1的解集是x|-1x1;若ab-1,则;若|a|2,|b|1,则|a-b|1.正确命题的序号是_.(注:把你认为正确的命题序号都填上)解析:当x0时6,当x0时-6,不正确.由1,得0,得-1x1,正确.若ab-1,则1+a1+b0,.若成立,只需a+abb+ab,即ab,显然成立,正确.若|a|2,|b|1,则|a-b|a|+|b|2+1=3,不正确.正确的命题有.答案:三、解答
8、题15.集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的:对于任意的x0,f(x)-2,4,且f(x)在0,+)上是增函数.(1)判断函数及(x0)是否在集合A中?若不在集合A中,试说明理由;(2)对于(1)中你认为是集合A中的函数f(x),不等式f(x)+f(x+2)2f(x+1)是否对于任意的x0总成立?证明你的结论.解:(1)x=490,f1(49)=5,而5-2,4,不在集合A中.x0,x1.-60.从而-24,f2(x)-2,4.又在0,+)上为增函数,在集合A中.(2)由(1)知,f(x)=f2(x).当x0时,f(x)+f(x+2)-2f(x+1),f(x)+f(x+2)2f(x+1)
9、对任意的x0总成立.16.已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若a,b-1,1,a+b0时,有.(1)判断函数f(x)在-1,1上是增函数还是减函数,并证明你的结论;(2)解不等式;(3)若f(x)m2-2am+1,对所有x-1,1,a-1,1恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)函数f(x)在-1,1上是增函数.证明:设x1,x2-1,1,且x1x2,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2),f(x1)f(x2).f(x)在-1,1上是增函数.(2)f(x)在-1,1上是增函数,解得不等式的解集为,-1).(3)f(x)在-1，1上是增函数，f(x)f(1)=1.
10、依题意有m2-2am+11对a-1,1恒成立,即m2-2am0恒成立.令g(a)=-2ma+m2,它的图象是一条直线,那么解得m2或m-2或m=0.因此所求m的取值范围为m2或m-2或m=0.数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】设函数f(x)=x2+2bx+c(cb1),f(1)=0,且方程f(x)+1=0有实根.(1)证明-3c-1;(2)证明b0;(3)若m是方程f(x)+1=0的一个实根,判断f(m-4)的正负并加以证明.(1)证明：f(1)=01+2b+c=0.又1bc,故1c-3c.方程f(x)+1=0有实根,即x2+2bx+c+1=0有实根,故=4b2-4(c+1)0,即(c+1
11、)2-4(c+1)0c3或c-1.又1bc,得-3c-1.(2)证明：由,知b0.(3)解：f(m-4)的符号为正.证明如下:f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1).f(m)=-10,cm1.c-4m-4-3c.f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)0.f(m-4)的符号为正.【例2】已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线l:x+y=0成轴对称的两点,试求实数a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x1,y1)、Q(x2,y2),线段PQ的中点为M(x0,y0),设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在,所以方程组有两组不同的实数解,即得方程ax2-x-(1+b)=0.判别式=1+4a(1+b)0.由，得,.M1,即,代入,解得a.解法二：设同解法一，由题意，得将代入，并注意到a0,x1-x20,得由二元均值不等式,易得2(x12+x22)(x1+x2)2(x1x2).将代入上式，得,解得a.解法三：同解法二，由-，得y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2).x1-x20,.M(x0,y0)1,y0+x0=0,即,从而PQ的中点M的坐标为(,).M在抛物线内部，,解得a或a0(舍去)
