极值点偏移问题的处理所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性 若函数 f(x)在 x x0处取得极值， 且函数 y f(x)与直线 y b交于 A(x1,b), B( x2,b)两点，则 AB的中点为 M(x1 x2 ,b) ，而往往 x0 x1 x2.2 0 2如下图所示 .极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考， 作为热点以压轴题的形式给出， 很多学生对 待此类问题经常是束手无策而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而 更多的题型又是含有参数的不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数 如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有 很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】【处理策略】一、不含参数的问题 .例 1. (2010天津理)已知函数 f (x) xe x(x R) ，如果 x1 x2，且 f (x1) f (x2) ，证明： x1 x2 2.【解析】法一： f (x) (1 x)e x，易得 f(x) 在( ,1) 上 单 调 递 增 ， 在 (1, )上 单 调 递 减 ，x 时， f(x) ， f(0) 0， x 时，f(x) 0 ， 函数 f (x) 在 x 1处取得极大值 f (1)，且 f (1) 1, 如图所示 .e由 f (x1) f (x2),x1 x2 ，不妨设 x1 x2 ，则必有 0 x1 1 x2 ，构造函数 F(x) f (1 x) f(1 x),x (0,1] ，则 F(x) f (1 x) f (1 x) xx 1 (e2x 1) 0 ，所以 F(x) 在 x (0,1]上单调递增， eF(x) F(0) 0，也即 f(1 x) f(1 x)对x (0,1]恒成立 .由 0 x1 1 x2 ，则 1 x1 (0,1] ，所以 f(1 (1 x1)) f (2 x1 ) f (1 (1 x1 )) f x(1 ) f x(2 ，)即 f(2 x1) f(x2)，又因为2 x1,x2 (1, ) ，且 f (x) 在(1, ) 上单调递减，所以 2 x1 x2 ，即证 x1 x2 2.法二：欲证 x1 x2 2，即证 x2 2 x1 ，由法一知 0 x1 1 x2，故 2 x1,x2 (1, ) ， 又因为 f(x)在(1, )上单调递减，故只需证 f (x2) f(2 x1 ) ，又因为 f (x1) f(x2)， 故也即证 f (x1) f (2 x1) ，构造函数 H (x) f (x) f(2 x),x (0,1) ，则等价于证明 H (x) 0对 x (0,1)恒成立 .由H (x) f (x) f (2 x) 1 xx(1 e2x2) 0，则H(x)在x (0,1)上单调递 增，所以eH(x) H(1) 0 ，即已证明 H(x) 0对 x (0,1)恒成立，故原不等式 x1 x2 2亦成立.法三：由 f(x1) f(x2)，得x1e x1 x2e x2 ，化简得 ex2 x1 x2⋯ ，x1不妨设 x2 x1 ，由法一知， o x1 1 x2 . 令 t x2 x1 ，则 t 0,x2 t x1，代入 式， 得 et t x1 ，反解出 x1 t t ，则 x1 x2 2x1 t t2t t ，故要证： x1 x2 2 ，即证： x1 e 1 e 1t2t t 2 ，又因为 et 1 0 ，等价于证明： 2t (t 2)(et 1) 0 ⋯ ，e1构造函数 G(t) 2t (t 2)(et 1),(t 0)，则G(t) (t 1)et 1,G (t) tet 0，故G(t)在t (0, )上单调递增，G(t) G(0) 0 ，从而G(t)也在 t (0, )上单调递增，G(t) G(0) 0，即证 式成立，也即原不等式 x1 x2 2成立 .法四：由法三中 式，两边同时取以 e为底的对数，得 x2 x1 ln x2 ln x2 ln x1，也 x1x2 1即lnx2 lnx1 1，从而 x1 x2 (x1 x2) ln x2 lnx1 x2 x1ln x2 x1 lnx2，x2 x1 x1 x2 1 x1x1x2 x1x2 x1令 t x2 (t 1)，则欲证： x1 x2 2 ，等价于证明： x1t 1lnt 2⋯ ，t1构造M(t) (t t1)1ln t (1 t 21)ln t,( t 1)，则M (t)2t 2 1 2t lnt ，2t(t 1)2又令 (t) t2 1 2t lnt ,t( ，1)则 (t) 2t 2(ltn 1) t2( 1 tl，n由于t 1 lnt 对t (1, ) 恒成立，故 (t) 0， (t)在t (1, ) 上单调递增，所以 (t) (1) 0 ，从而 M (t) 0 ， 故 M (t) 在 t (1, ) 上 单 调 递 增 ， 由 洛 比 塔法则知：limM(t) lim (t 1)lnt lim ((t 1)ln t) lim(lx 1 x 1 t 1 x 1 (t 1) x 1t1n t t 1) 2 ，即证 M (t) 2 ， t，即证 式成立，也即原不等式 x1 x2 2成立 .点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的二、含参数的问题 .例 2.已知函数 f (x) x aex有两个不同的零点 x1,x2 ，求证： x1 x2 2.解析】思路 1：函数 f(x) 的两个零点，等价于方程xe x a 的两个实根，从而这一问题与例 1 完全等价，例 1的四种方法全都可以用；思路 2：也可以利用参数 a 这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数 f (x) 有两个零点 x1,x2 ，x1所以x1 ae 1 (1) ，x2 aex2 (2) ，x2由 (1) (2)得： x1 x2 a(ex1 ex2) ， 要证明 x1 x2 2 ，只要证明 a(ex1 ex2) 2 ，由 (1) (2)得： x1 x2 a(ex1 ex2 ) ，即 a xx11 x2x2 ， e1 e 2 ex1 ex2 ex1 x2 1即证： (x1 x2) x1 x2 2 (x1 x2) x1 x2 2，e1 e2 e 1 2 1不妨设 x1 x2 ，记 t x1 x2 ，则 t 0,et 1， 因此只要证明： t et 1 2 t 2(et 1) 0 ，et 1 et 1再次换元令 et x 1, t ln x ，即证 ln x 2(x 1) 0 x (1, ) x1构造新函数 F(x) ln x 2(x 1) ， F (1) 0x12求导 F'(x) 1 4 2 (x 1)2 0，得 F(x)在(1, )递增，x (x 1) x(x 1)所以 F(x) 0 ，因此原不等式 x1 x2 2获证 .【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 x1,x2 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的 问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。
例 3.已知函数 f (x) ln x ax ， a为常数，若函数 f(x)有两个零点 x1,x2 ，试证明： x1 x2 e2.【解析】法一：消参转化成无参数问题：f(x) 0 lnx ax lnx aeln x ， x1, x2是方程 f (x) 0的两根，也是方程 ln x aelnx 的两根，则 ln x1,ln x2 是 x aex ，设 u1 ln x1 ,u2 ln x2， g(x) xe x ，则g(u1) g(u2 ) ，从而 x1x2 e2 lnx1 ln x2 2 u1 u2 2 ，此问题等价转化成为例 1， 下略.法二：利用参数 a 作为媒介，换元后构造新函数：不妨设 x1 x2 ，ln x1 ax1 0,ln x2 ax2 0，∴ ln x1 ln x2 a(x1 x2 ),ln x1 ln x2 a(x1 x2) ，ln x1 ln x2a ，欲证明x1 x2x1x2 e2 ，即证 ln x1 ln x2 2.ln x1 ln x2 a(x1 x2 ) ，∴即证 a2x1 x2∴原命题等价于证明 lnx1 lnx2 2 ，即证： ln x1 2(x1 x2)，令t x1,(t 1) ，构x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 x2造 g(t) ln t 2(t 1),t 1，此问题等价转化成为例 2 中思路二的解答，下略 .t1法三：直接换元构造新函数：ln x1 ln x2 ax1 x2ln x2 x2 x22 2 ,设 x1 x2,t 2,(t 1)，ln x1 x1 x1则x2 tx1,ln tx1 t lnt ln x1 ln x1 ln x1反解出：ln x1 lnt ,ln x2 lntx1 lnt ln x1 ln t lnt tlnt ， t 1 t 1 t 1故 x1x2 e2 ln x1 ln x2 2 t 1lnt 2 ，转化成法二，下同，略 t1例 4.设函数 f(x) ex ax a(a R) ，其图像与 x轴交于 A( x1,0) , B(x2,0) 两点，且x1 x2.证明： f ( x1 x2) 0.解析】由 f (x) ex ax a, f (x) ex a ，易知：a的取值范围为 (e2, )， f(x) 在( ,lna) 上单调递减，在 (lna, ) 上单调递增 .法一：利用通法构造新函数，略；法二：将旧变元转换成新变元：∵ ex ax1 a 0, 两式相减得： ex2 ax2 a 0,x2 x1e 2 e1a，x2 x1记 t x2 x1 ,(t 0) ，则 f (2x1 x22x1 x2 ex2 ex1) e 2x2 x1x1 x2e2t (2t (et e t))，设 g(t) 2t (et e t),(t 0)，则 g ()t 2 ( et) 0e t ，所以 g(t)在t (0, ) 上单调递减，x1 x22 故g(t) g(0) 0,而e 0，所以 f (x1 x2) 0，2t 2又∵ f (x) ex a 是 R 上的递增函数，且 x1x2 x1 x2 ，∴ f ( x1 x2 ) 0.容易想到，但却是错解的过程：x1 x2欲证：f ( x1 x2) 0，即要证： f (x1 x2) 0，亦要证e 2 a 0，也即证： ex1 x2 a2，很 自 然 会 想 到 ： 对 ex ax1 a 0, ex a(x1 1), 两 式 相 乘 得 ：ex2 ax2 a 0, ex2 a(x2 1),ex1 x2 a2(x1 1)(x2 1) ， 即 证 ： (x1 1)(x2 1) 1 . 考 虑 用 。