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1、精品文档10.(本题满分14分)如图， 直线分别与双曲线的右支交于点这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点2009年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷(2009年3月22日星期日上午8: 3010: 30)【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分)2009|2009 l .20091设,L。 (1,)，则-Og0江 的最小值是 。l0g aL ai02x 12已知x,y N *，且12 L y 1 9 92 L 9 ，则将y表示成x的函数，其解析式是y 。3已知函数f(x) |x2 2|，若f(a) f(b)，且0 a b，则ab
2、的取值范围是 134. 满足方程log22cos 2(xy)2y2y的所有实数对(x, y) ，2cos (xy)425. 若a表示不超过实数a的最大整数，则方程 tanx 2sin x的解是6. 不等式22x 3 2x 4 22 x的解集是。7.设A是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即 A 1,2,L ,2009，集合L A， 且L中任意两个不同元素之差都不等于4 ,则集合L元素个数的最大可能值8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。二、解答题9. (本题满分14分)设函数f (
3、x)定义于闭区间0,1，满足f (0)0, f (1) 1，且对任意x y22x, y 0,1, x y，都有 f ()(1 a )f(x) a f(y)，其中常数 a 满足 0 a 1，2求a的值。2x 2A是双曲线y 1的右顶点，过点 A的两条互相垂直的4M ,N，问直线MN是否一定过x轴上一定点？如果不存在精品文档A不是B的19对一切且i j。求an使得 a10k 9 a10k 8 L a jap 为 S(i, j)，其中 i, j N*p i 111.(本题满分16分)设 代B是集合44283,3485的两个不同子集，使得 子集，B也不是A的子集，求不同的有序集合对 (A,B)的组数。
4、12.(本题满分16分)设正整数构成的数列 kN*恒成立。记该数列若干连续项的和证：所有S(i,j)构成的集合等于 N*。3，1、5、9、2009年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷参考答案100 ；2、3X23、(0,2)；4、(k+2，2(k Z)-(k,l4Z)；6、0,4；7、1005;8、960。解:f(3)因为讨)11今)10 1f(RfG)0 f (-a2f所以ff(2 1(1 a2)f(ya2f(1)2a2(1)34)(1 a2)fG)a2f2a63a4642a 3a ,而 0 a 1 ,10、解法一：A(2,0)，将y轴向右平移2个单位，使点 A成为新直角坐标系的原点，在新所以
5、a14分由此得a2坐标系下，双曲线的方程为空 y2 1，即4y2 x2 4x 0(*)44 444若 MN x 轴，则 kAM1，即 1am : y X，代入(*)式可得 M(,)，进而 N(,)。3 333所以P(4，。)，则点P在原坐标系中的坐标为(扣。若MN不垂直x轴，设lMN : y kx t(t 0)，则y严 1 ,2y于是(*)可以改写成4y2 x2 4x 1 kx0 ,t该方程的两个根 k1, k2既是AM , AN的斜率。4k t因为AM AN，所以k1k2 込一t1 ,4t444所以 t k，故 lMN : y kx k k(x)3334所以过定点P(,0)，则点P在原坐标系
6、中的坐标为3即4t24k t10分10(亍0)。10综上所述，直线MN过x轴上的定点P(10 0)14分,X24y48k22 4k2k284k由M( 2)，同理得N(牙yk(x2)4k21 4k214 k24 k1010当k1时，XMXN，所以过(,0)8分33当k1,k2,k-时,由直线MN的方程得，y k(x10 )23所以，10直线MN过x轴上的定点P(,0)14分解法二：设直线 AM的斜率为k(k 0,k12，k 2)10分2)(代 B)有 25(251)组。5若A B，并设B中含有k(1 k555Cs(2k1)C：2kC5kk 1k 0k 02分同理，满足B A的有序集合对(代B)也
7、有35 25组。5)个元素，则满足A3525 组11、解：集合ai,a2,a3, a4,a5有2个子集，不同的有序集合对B的有序集合对(代B)有8分10分16分所以，满足条件的有序集合对(代B)的组数为25(25 1) 2(35 25) 570组。12、证明：显然S(i,j) N*2分下证对任意n0 N * ,存在S(i, j)n0用Sn表示数列an的前n项和，考虑10n。10个前n项和：S S2 L Sn0 10( 1)由题设S10n010(a1a2La10)(anLa20)L伽01 La10Q)10)6 分另外，再考虑如下 10n010个正整数：S|nS2n LS10n0 10 n2)式中各数也两两不等,S(i, j)显然Son。10 n0 20n0 1910 分这样(1)，( 2)中出现20n0 20个正整数，都不超过 20n0 19，由抽屉原理，必有两个相等。由于(1)式中各数两两不相等，(故存在i, j N *，使得SjSi n0，即j i，且nSjS所以，所有S(i, j)构成的集合等于N16分
