《九年级数学上册第一章特殊平行四边形全章复习与巩固知识讲解及例题演练北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册第一章特殊平行四边形全章复习与巩固知识讲解及例题演练北师大版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、特殊平行四边形全章复习与巩固【学习目标】1 .掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念 ，了解它们之间的关系.2 .探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算 .【知识网络】要点一、平行四边形1 .定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2 .性质：(1)对边平行且相等；(2)对角相等；邻角互补;(3)对角线互相平分；(4)中心对称图形.3 .面积：S平行四边形二底父局4 .判定：边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角：(4)两
2、组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角：(6) 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;对角线：(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：(1)平行线间的距离都相等；(2)等底等高的平行四边形面积相等 .要点二、菱形1 .定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边相等；3.面积:4.判定:要点三、矩形1 .定义:2 .性质:3.面积:要点诠释:(3)两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形，轴对称图形 .对角线x对角线(1
3、)(2)(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四边相等的四边形是菱形 .有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(1)(2)(3)(4)具有平行四边形的所有性质;四个角都是直角；对角线互相平分且相等； 中心对称图形，轴对称图形S矩形=长父范(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.由矩形得直角三角形的性质：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点四、正方形1 .定义：2 .性质：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形(1)
4、对边平行；(2)四个角都是直角；(3)(4)(5)(6)四条边都相等；对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;中心对称图形，轴对称图形 .3.面积:1S正方形=边长X边长=-x对角线x对角线4.判定:(1)(2)(3)(4)(5)(6)2有一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形【典型例题】类型一、平行四边形AD0C1、已知， ABC中，/ BAC=45 ,以AB为腰以点B为直角顶点在 A
5、BC外部作等腰直 角三角形ABD以AC为斜边在 ABC外部作等腰直角三角形 ACE连结BE DQ两条线段相交于点F,试猜想/ EFC的度数并说明理由.【答案与解析】解法一：作 DH/BE交EA延长线于 H,连接CH易证四边形BEHM平行四边形在ACEH与EAB中CE=AE*2CEH=/EAB=90”HE=BD=AB.CEHEAB (SAS)二 CH=BE=DH , /CHE=/ABE. CHD=90；. EFC=. CDH=45；B解法二：作CG/BE交ABI勺延长线于G,连接DG ABC与 ACE都是等腰直角三角形， / EAB至 CAE廿 CAB=90 .又/AEC=90 , .AB/ C
6、E. 四边形BECG平行四边形， .CE=GB 又 AE=EC.GB=AE.在BGDt1AEB 中，DB=AB , / DBG= BAE=90 , GB=AEBG2 AEB(SAS)，/GDB=ABE BE=DG. 平行四边形BGCE, /ABEh AGC BE=GC, .Z GDB 之 AGC, GC= DG./ DGC = DGA+ AGC= DGA+ GDB=90 .于是ACDG是等腰直角三角形，所以.EFC =. DCG = 45；G【总结升华】 通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解.类型二、菱形2、如图，平行四边形 ABCD43, ABAG AB= 1, BC= J5
7、 .对角线AG BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交 BC, AD点E, F.(1)证明：当旋转角为 90。时，四边形 ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形 BEDFW能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能， 说明理由并求出此时 AC绕点O顺时针旋转的度数.【思路点拨】(1)当旋转角为90时，/ AOF=90 ,由 ABAQ可得AB/ EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形；(2)证明4AO四4COE即可；(3)当EH BD时，四边形BEDF 为菱形，又由ABAG AB=1, BC=75 ,易求得 OA=AB即可
8、得/ AOB=45 ,求得/ AOF=45 , 则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为 45。.【答案与解析】(1)证明：当/ AOR 90 时，AB/ EF,又 AF/ BE,四边形ABEF为平行四边形.(2)证明：四边形ABCM平行四边形，AO= CQ / FAO= / ECQ / AOF= / COE. .AO2 ACOE，AF= CE(3)四边形BEDF可以是菱形.理由：如图，连接 BF, DE，由(2)知AOWACOE 彳导 OE= OF,EF与BD互相平分.当EF BD时，四边形BEDF为菱形.在 RtABC中，AC=/51=2,.-OA= 1 = AB,又 AB! AG，/
9、AOB= 45 ,，/AOF= 45 ,二.AC绕点O顺时针旋转45时，四边形BEDFJ菱形.【总结升华】 要证明四边形是菱形， 先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知：如图所示，BD是4ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交 AB于E, 交BC于点F.求证：四边形BFD弱菱形.【答案】证明：.EF是BD的垂直平分线，.EB=ED / EBDW EDB.又. / EBD= /FBD / FBD至 EDB ED/ BF.同理，DF/ BE,四边形BFD比平行四边形.又 EB=ED四边形BFD弱菱形. 3、在口 ABCD43,
10、对角线AC BD相交于点O, BD=2AB点E、F分别是OA BC的中点.连接 BE、EF.(2)在上述条件下，若AC=BD G是BD上一点，且 BG: GD=3 1,连接EG FG 试判断四 边形EBFG勺形状，并证明你的结论.【思路点拨】(1)根据平行四边形性质推出BD=2BO推出AB=BQ根据三线合一定理得出 BE! AG在 BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF可；(2)根据矩形性质和已知求出 G为OD中点，根据三角形中位线求出一 一 1 一 ，、EG/ AQ EG-BC,求2出EG/ BG EGBC,求出BF=EG BF/ EG EG=GF得出平行四边形，根据菱形
11、的判定推2出即可.【答案与解析】(1)证明：二四边形 ABC皿平行四边形，BD=2BO BD=2AB.AB=BOE为OA中点, .BE! AG/ BEC=90 ,F为BC中点, EF=BF=C F即 EF=BF，(2)四边形EBF靛菱形，证明：连接CG四边形ABC比平行四边形，AC=BD四边形ABCD矩形，.AD=BC AB=CD AD/ BG BD=2BO=2ODBD=2AB=2C D.OC=C D. BG GD=3 1, OB=OD.G为OD中点，.CGL OD (三线合一定理)，即/ CGB=90 ,F为BC中点,-1-1 .GF= BC=- AD,22.E为OA中点，G为OD中点,1
12、.EG/ Aq EG=AD,2J EG/ BG EG=_ BC, 2 F为BC中点， .BF=1BC, EG=GF 2即 EG/ BF, EG=BF 四边形EBFG是平行四边形，,.EG=G F 平行四边形EBFG菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线,直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.类型三、矩形 4、如图 1,已知 AB/ CD AB=CD /A=/ D.(1)求证：四边形ABCM矩形；(2) E是AB边的中
13、点，F为AD边上一点，/ DFC=Z BCE如图2,若F为AD中点，DF=1.6,求CF的长度：如图 2,若 CE=4, CF=5,贝U AF+BC=, AF=.(1)证明： AB/ CD AB=CQ 四边形ABC型平行四边形， . /A=/ D, /A+/ D=180 ,.ZA=90 , 四边形ABC型矩形，(2)解：延长 DA CE交于点G 四边形ABCD矩形， / DABW B=90 , AD/ BG/ GAE=90 , / G=Z ECBE是AB边的中点，.AE=BErZG=Z ECB在AAGE和BGE中，ZGAE-ZB=90二BE . .AG国BGE( AAS, .AG=BC . DF=1.6, F 为 AD中点,BG=3.2, .AG=BC=3.2FG=3.2+1.6=4.8 ,1. AD/ BG / DFGW BGF / DFG=Z BGE / BGEW FGE 1. AD/ BG ./ BGEW G, .GF=FG=4.8若 GE=4 GF=5,由得：AG=BG GF=FG GE=GE=4 AG=AQ .GG=8 AF+BG=AF+AG=FG=GF=5 故答案为：5;设 DF=x,根据勾股定理得：gD=gf dF=gG dG,即 52
