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1、2017届黑龙江虎林一中高三（上）期中数学（理）试题一、选择题1已知集合，那么（ ）A B C D 【答案】B【解析】试题分析：由得，则，故选B【考点】元素与集合的关系2集合 ，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意得，则，故选C【考点】（1）不等式的解法；（2）集合的运算3下列图形中，不是以为自变量的函数图象的是（ ）【答案】A【解析】试题分析：A中存在一个有两个与对应，故不满足函数的条件，BCD都满足函数的条件，故选：A【考点】函数的概念及其构成要素4已知 是两条不同的直线，是两个不同的平面在下列条件中,可得出 的是（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：A当，时，
2、或，若，则无法判断成立，所以A错误B若，所以，又，所以，所以B正确C若，则与关系不确定，所以即使，则无法判断成立，所以C错误D，则，若，所以，所以D错误故选B【考点】空间中直线与平面的位置关系5下列函数中与函数相同的一个是（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：的定义域是，定义域不同；的定义域是，定义域不同；的定义域是，对应关系也相同，故相同；，对应关系不同；故选C【考点】判断两个函数是否是同一函数【方法点睛】此题是个基础题本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个
3、选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域6已知 ，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，故选A【考点】对数的运算法则7方程 的解所在区间是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，可知，由零点的存在性定理可得：的解所在区间为；故选C【考点】函数的零点8过点且斜率为 的直线交圆 于两点，为圆心，则的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意，直线方程为，代入，可得，或，圆的半径为，故选：A【考点】（1）直线与圆的位置关系；（2）平面向量数量积的运算9已知数列为等差数列，是它的前项和，若，则（ ）A
4、B C D【答案】D【解析】试题分析：等差数列的前项和为，解得，故选：D【考点】等差数列的前项和10已知双曲线的一条渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线方程是，即，故选C【考点】双曲线的性质11实数满足不等式组，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图，目标函数的几何意义是与两点连线的斜率，由和，可得斜率为，直线的斜率为，由图可知目标函数的取值范围为，故选A【考点】简单线性规划的应用12设定义域为的函数，则关于的方程，有个不同的实数解，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分
5、析：当时，则由得，当时，由得，解得，或，当时，由得，解得，或，故选D【考点】根的存在性及根的个数判断【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，这是一道比较难的对数函数综合题，解题时需考虑出只有在什么情况下才会出现个根是解题的关键所在，按照题设条件分别根据、和三种情况求出关于的方程的个不同的实数解、，然后再求出的值二、填空题13某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是_【答案】【解析】试题分析：根据几何体的三视图得:该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱底面；所以，；所以，该三棱锥的表面积为故答案为：【考点】由三视图求面积、体积【方法点晴】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时
6、应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题；由三视图均为三角形可初步判断该几何体为三棱锥，由俯视图可知底面是以为底边的等腰三角形，由主视图可以判断定点在的正上方，即底面且，验证侧视图满足，计算出每个面的面积，求其和即可14已知抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，；故答案为：【考点】（1）双曲线的性质；（2）抛物线的性质15设数列是首项为公比为的等比数列_【答案】【解析】试题分析：数列是首项为公比为的等比数列，则，故答案为【考点】等比数列的性质16已知实数满足，则的取值范围是_【
7、答案】【解析】试题分析：实数满足，故答案为：【考点】（1）有理数指数幂的化简求值；（2）圆的参数方程【方法点晴】本题考查代数和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意圆的参数方程和均值定理的合理运用，尤其是利用圆的参数方程进行三角换元是正确解题的关键，难度中档；由已知得，借助圆的参数方程得到，由此利用均值不等式能求出的取值范围三、解答题17在中,内角、所对的边分别为、，已知（1）求的值；（2）若，求面积的最值【答案】（1）；（2）最大值为【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将已知等式化简，再根据两角和的正弦函数公式及诱导公式变形，求出的值，结合为三角形的内角即可算出角的大小,故而确定；（2）利
8、用余弦定理的式子，结合基本不等式加以计算可得，当且仅当时等号成立再由三角形的面积公式得到，代入的最大值即可得到三角形面积的最大值试题解析：（1）由正弦定理得到： ，因为在三角形中， ，所以 所以 ，因为，所以即，所以即（2）由余弦定理得到： , 所以,所以即，当且仅当即时“=”成立而，所以面积的最大值为【考点】（1）正弦定理；（2）三角形面积公式；（3）两角和与差的正弦函数【方法点晴】本题考查了正余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式与基本不等式的运用等知识，属于中档题熟练掌握有关定理及公式是解决本题的关键；在解三角形中，常利用正弦定理和余弦定理实行边角之间的互化，在该题中利用正
9、弦定理将边化为角，在利用三角形中的恒等式，化简得；在求面积时，余弦定理和基本不等式的结合也是求面积最值中最常用的一种手段18如图，是正方形,是正方形的中心，是的中点 求证：（1）平面 ；（2）平面 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）连接，根据三角形中位线定理，可得，进而根据线面平行的判定定理，得到平面；（2）根据线面垂直的定义，可由底面得到，结合四边形是正方形及线面垂直的判定定理可得平面试题解析：（1） 连接，在中，又平面平面， 平面 （2）底面平面,又四边形是正方形，平面平面【考点】（1）直线与平面平行的判定；（2）直线与平面垂直的判定【方法点晴】本题考查的知
10、识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，难度中档，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键证明线面平行常用的方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等；在该题中利用的是三角形中位线；证明平面，即在面分别找两条相交直线与垂直19已知抛物线上点到焦点的距离为（1）求的值；（2）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且 （ 其中为坐标原点）求证：直线过定点， 并求出该定点的坐标 【答案】（1），；（2）证明见解析，定点【解析】试题分析：（1）利用抛物线上点到焦点的距离为，根据抛物线的定义，可求，的值；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合，可
11、求的值，即可求出该定点的坐标试题解析：（1）由抛物线定义得 ，,所以抛物线方程为 , 代 入 点 ,可解得（2）设直线的方程为,联立消元得:,则由得：，所以：或（ 舍去），即，所以直线的方程为，所以直线过定点【考点】抛物线的性质20已知椭圆的离心率为 ,其长轴长与短轴长的和等于（1）求椭圆的方程；（2）如图，设椭圆的上、 下顶点分别为是椭圆上异于的任意一点，直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为证明： 线段的长为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、勾股定理即可得出试题解析：（1）由离
12、心率为 得： 又 联立得：，故椭圆的方程为：（2）由（1）知：，设，则：直线的方程为：，令得：；直线的方程为：，令得：，设，则，又从而为定值【考点】（1）椭圆的标准方程；（2）椭圆的简单性质；（3）直线与圆锥曲线的关系21设，函数（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若 无零点,求实数 的取值范围；（3）若 有两个相异零点,求证：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）先确定函数的定义域，然后对函数求导，根据导函数求出，得到切线方程；（2）当时，函数有零点；当时，极大值小于，函数没有零点，由此可求实数的取值范围；（3）由于有两个相异零点，可知，再对原不等式进一步
13、整理得到，只要能证出上述不等式恒成立即可试题解析：在区间 上，（1）当时，,则切线方程为,即（2）若 有唯一零点 若，则是区间上的增函数,因为，函数在区间有唯一零点若，令得：在区间 上， 函数 是增函数;在区间 上，函数 是减函数; 故在区间上, 的极大值为由，即，解得:故所求实数的取值范围是（3）设，原不等式令，则，于是设函数,求导得:, 故函数是上的增函数,即不等式成立, 故所证不等式成立【考点】（1）利用导数研究曲线上某点处的切线方程；（2）利用导数研究函数的极值22如图所示， 已知圆外有一点， 作圆的切线为切点， 过的中点作割线,交圆于两点， 连接 PA 并延长，交圆于点连接交圆于点,若（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由切割线定理，及是的
