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1、八上培优5半角模型截长补短图形中，往往出现 90套45的情况，或者120套60的情况。还有 2 套 的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第 34页，新观察培优也有涉及，在第 27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第 34页14题1 .如图，四边形 ABCD 中，/A=/C=90 , /D=60 , AB=BC , E、F,分别在 AD、CD 上，且 / EBF=60 .求证：EF=AE+
2、CF .2 .如图2,在上题中，若 E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证： AE=EF+CF .3 .如图，/A=/B=90 , CA=CB=4, Z ACB=120 , Z ECF=60 , AE=3, BF=2, 求五边形 ABCDE 的 面积.4 .如图1.在四边形 ABCD中.AB=AD , /B+/D=180 , E、F分别是边 BC、CD上的点，且/ BAD=2 / EAF.(1)求证：EF=BE+DF ;(2)在(1)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点 E、F分别运动到 BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究 EF、BE、DF之间的数量关系.F却图23.如
3、图3,在四边形 ABDC中，/B+/C=180 , DB=DC , / BDC=120 ,以D为顶点作一个 60的 角，角的两边分别交 AB、AC于E、F两点，连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以 证明.勤学早第40页试题1 . (1)如图，已知 AB=?AC, Z BAC=90 , ?/?MAN=45 ,过点 C 作 NC?，AC 交 AN 于点 N,过点 B 作BM?垂直 AB交AM于点 M,当/ MAN在/ BAC内部时，求证： BM+CN?=MN;证明：延长 MB 到点 G,使 BG=CN,连接 AG ,证 ABGAACN(SAS),，AN=AG, / BAG= ,
4、 / NAC. L/ GAM= /GAB + / BAM= Z CAN+ Z BAM=45 = L /MAN, 证AAMN AAMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM 十 NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)如图，在(1)的条件下，当 AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立？请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN 一 BM, 证明略.基本模型二120套602 .如图， ABC 中,CA=CB, /ACB=120 ,E 为 AB 上一点，/ DCE=60 ，/DAE= 120 , 求证:DE=BE证明：(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CFi
5、jA CBFA CAD , ACEDIA CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3 .如图，AABC 中,CA=CB, / ACB=120 ，点 E 为 AB 上一点，/ DCE= / DAE= 60 , 求证:AD+DE= BE.证明：(截长法)在BE上截取 BF=AD,连接CF,易证 CBFACAD , CED 仁 ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版 27页例4如 图， ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角，/ BDC= 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC于M、N,连结MN,试求 AMN
6、的周长.分析：由于/ MDN=60。，/BDC=120 ,所以/ BDM十/ CDN=60 ,注意到 DB=DC ,考虑运用“旋转 法”将/ BDM 和/ CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面 ，AAMN的周长 AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页 伤J 5 如图， 点A、B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，OC平分/ ACB. 求A点坐标；如图1, AQ在/ CAB内部，P是AQ上一点， 满足ZACB= /AQB, AP=BQ .试判断 CPQ的形状， 并予以证明；如图2. BD，BC交y轴负半
7、轴于 D. / BDO=60 , F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足/ CFD+ / E=180 .当F在AC上移动时， 确结论，请选出正确结论并求其值.分析：(1)由/ A0C 9匕 BOC 得 AO= BO=2, (2)由 ACPA BCQ 得 CP=CQ.由BD，BC, / BDO=60 ,可证得等边AC,连结DA,加上条件/ CFD+/E=180结论：CE+CF值不变；CE- CF值不变，其中只有一个正A(- 2,0).ABC.由角平分线和,可证得 ADFDB_ BC的条件，运用对称性知 DA BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 24.(1)如图 1
8、,在四边形 ABCD 中， AB=AD, / B+ Z D=180 1E,F分别是 BC,CD上的点，且/ EAF= 一2/ BAD,求证:EF= BE+ DF;如图2,在(1)的条件下，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到 BC,CD延长线上时,贝ij EF,BE,DF之间的数量关系是 EF=BE- DF解:(1)EF=BE+DF,延长 FD 至U点 G,使 DG=BE,连接 AG,证AABEAADG (SAS), . /.AE = AG,/ BAE= / DAG ,/ EAF= 1 / BAD,2/ GAF= / DAG+ / DAF= / BAE+ / DAF= / BAD
9、- / EAF=/ EAF, .1./ EAF= ZGAF,证AAEFAGAF(SAS),. /. EF= FG, ; FG=DG+ DF=BE+ DF,.,.EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地试题：4.探究：如图，点E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上，/ EAF=45 ，连2EF,求证：EF=BE+DF .1应用：如图，在四边形 ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD , / B+/ D=90, / EAF=-2/BAD ,若 EF=3 , BE=2,贝U DF=.D圉 图5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，
10、请补充完整.原题：如图1,点E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上，/ EAF=45 ,连接 EF ,求证： EF=BE+DF .(1)思路梳理AB=AD ,.把 ABE绕点 A逆时针旋转 90至/ ADG ,可使 AB与AD重合. / ADG= / B=90 , . FDG=/ADG+ / ADC=180 ,则点 F、D、G 共线.根据,易证 AFG,从而得 EF=BE+DF ;(2)类比引申如图 2,四边形 ABCD 中，AB=AD , / BAD=90。点 E、F 分别在边 BC、CD 上，/ EAF=45。.若/ B、 /D都不是直角，但当/ B与/ D满足等量关系 时，仍有EF
11、=BE+DF ,请给出证明；(3)联想拓展如图 3,在 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且/ DAE=45 ,猜想 BD、DE、 EC应满足的等量关系，并写出推理过程.7. (1)如图1,在四边形 ABCD中，AB=AD , / B= / D=90 , E、F分别是边 BC、CD上的点，且AE=AF , / EAF= 1 Z BAD .现有三种添加辅助线的方式：延长 EB至G ,使BG=BE ,连接AG ; 2延长FD至G,使DG=BE ,连接AG ;过点A作AG LEF ,垂足为G;选择其中一种方法添加辅助线， 求证：EF=BE+FD ;(2)如图
12、 2,在四边形 ABCD 中，AB=AD ,若/ B+/D=180 , / EAF= B BAD ,证明(1)中结论2是否还成立？(3)如图3,在四边形 ABCD中，AB=AD , / B+/ADC=180 , E、F分别是边 BC、CD延长线上的点，且/ EAF= 1 / BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间2的数量关系，并证明.国L38. (1)如图1,在四边形 ABCD中，AB=AD , / B= / D=90 , E、F分别是边 BC、CD上的点，且/EAF= 1 Z BAD ,求证：EF=BE+FD .2(2)如图2,在四边形 ABCD中，
13、AB=AD , / B+/D=180 , E、F分别是边 BC、CD上的点，且/EAF= 1 / BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD2它们之间的数量关系，并证明.(3)如图3,在四边形 ABCD中，AB=AD , / B+/ADC=180 , E、F分别是边 BC、CD延长线上的点，且/ EAF= 1 / BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、2BE、FD它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?1.如图1,在平面直角坐标系中， AOB为等腰直角三角形， A (4
14、, 4)(1)求B点坐标;(2)如图2,若C为x正半轴上一动点，以 AC为直角边作等腰直角 ACD, / ACD=90 ,连接OD , 求/ AOD的度数；(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E, F为x轴负半轴上一点， G在EF的延长线上，以 EG 为直角边作等腰 RtA EGH ,过A作x轴垂线交EH于点M ,连FM ,等式AM=FM+OF是否成立？若成 立，请说明；若不成立，说明理由.解：(1)如图所示，作 AELOB于E,- A (4, 4),.OE=4 ,. A AOB为等腰直角三角形，且 AE XOB,.OE=EB=4 ,.OB=8 ,.B (8, 0);(2)如图所示，作 A
15、ELOB于E, DFLOB于F,. A ACD为等腰直角三角形，(3) AM=FM+OF 成立，理由：如图所示，在AM 上截取 AN=OF，连 EN .- A (4, 4),AE=OE=4 ,又EAN= / EOF=90 , AN=OF ,AC=DC , / ACD=90 即/ ACF+ / DCF=90 , / FDC+ / DCF=90 , ./ ACF= / FDC, 又DFC= / AEC=90 , . DFCA CEA ( AAS), EC=DF=4 , FC=AE , A (4, 4), AE=OE=4 , FC=OE ,即 OF+EF=CE+EF , 1. OF=CE , OF=DF , ./ DOF=45 , AOB为等腰直角三角形，
